Enunciado

7. Para o limite:

lim x → 2 ⁡ x 3 - 3 x + 4 = 6

Ilustre a definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ϵ = 0,2 e ϵ = 0,1

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos o seguinte limite:

lim x → 2 ⁡ x 3 - 3 x + 4 = 6

E o enunciado pede pra a gente aplicar a definição 2 de limite no limite acima, achando os valores de δ para a ϵ = 0,2 e ϵ = 0,1 . Vamos então relembrar a definição de limite:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ϵ > 0 houver um número δ > 0 tal que:

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ

Vamos reescrever essas condições sem os módulos e substituir nossas condições pra ficar mais fácil de visualizar:

- δ < x - 2 < δ

- ϵ < f x - 6 < ϵ

Bora colocar a mão na massa?

Passo 2

Do enunciado, temos o seguinte:

lim x → 2 ⁡ x 3 - 3 x + 4 = 6

A primeira coisa que vamos fazer é plotar o gráfico f x = x 3 - 3 x + 4 :

É importante podermos visualizar as proximidades de x = 2 , então vamos dar um zoom:

Usando a definição de limite, para ϵ = 0,2 :

- 0,2 < f x - 6 < 0,2

5,8 < f x < 6,2

Vamos usar o gráfico pra achar f x = 5,8 e f x = 6,2 :

x 3 - 3 x + 4 = 5,8 → x ≈ 1 , 9774

x 3 - 3 x + 4 = 6,2 → x ≈ 0 , 0226

Dessa forma temos:

1 , 9774 < x < 0 , 0226

É claro que pra enxergar esse valor você vai ter que dar um suuuuper zoom!

Lembrando que, pelo teorema de limite:

- δ < x - 2 < δ

- δ + 2 < x < δ - 2

Então:

- δ + 2 = 1 , 9774 → δ 1 = 0,02

δ - 2 = 0 , 0226 → δ 2 = 0,0219

Como nossos valores de x tem que ficar naquela faixa, vamos pegar o menor δ . Assim:

δ = 0,0219

Passo 3

Agora, para ϵ = 0,1 :

- 0,1 < f x - 6 < 0,1

5,9 < f x < 6,1

Pelo gráfico temos o seguinte:

x 3 - 3 x + 4 = 5,9 → x ≈ 1,9888

x 3 - 3 x + 4 = 6,1 → x ≈ 2,0110

Calculando δ :

2 - δ 1 = 1,9888 → δ 1 = 0,0112

2 + δ 2 = 2,0110 → δ 2 = 0,0110

Como nossos valores de x tem que ficar naquela faixa, vamos pegar o menor δ . Assim:

δ = 0,0110

Resposta

ϵ = 0,2 ;   δ = 0,0219

ϵ = 0,1 ;   δ = 0,0110

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