Enunciado

Para o limite

lim x → ∞ ⁡ 1 - 3 x x 2 + 1 = - 3

Ilustre a Definição 7 encontrando os valores de N que corresponde a ε = 0,1 e ε = 0,05 .

Passo 1

Fala aí! como vai?

Nesse problema foi dado o limite

lim x → ∞ ⁡ 1 - 3 x x 2 + 1 = - 3

E nosso objetivo é aplicar a Definição 7 e encontrar os valores de N que correspondem a ε = 0,1 e ε = 0,05 .

Tem ideia de como fazemos isso?

Bom pessoal, vamos ver o que diz a Definição 7:

Seja f uma função definida em um intervalo a , ∞ . Então:

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = L

Significa que para todo ε > 0 existe um numero N correspondente tal qual:

S e   x > N           e n t ã o   f x - L < ε

Sacou? Vamos aplicar no nosso problema!

Passo 2

Então nós vamos fazer o caminho contrário. Temos a seguinte relação:

f x - L < ε

Com L = - 3 , logo

1 - 3 x x 2 + 1 - - 3 < ε

Tirando o módulo, ficamos com:

- 3 - ε < 1 - 3 x x 2 + 1 < ε - 3

Agora s�� substituir ε ...

Para ε = 0,1 , temos a relação:

- 3 - 0,1 < 1 - 3 x x 2 + 1 < 3 - 0,1

Então y = - 3,1   e   y = - 2,9 .

Plotando o gráfico da função f ( x ) com o auxílio de uma ferramenta gráfica, podemos ver quais valores de x correspondem aos y achados acima.

Para y = - 2,9   t e m o s   q u e   x = 10,2 .

Então, podemos estabelecer um número N imediatamente maior:

N = 11

Deste modo, para qualquer:

x > 11       e n t ã o   1 - 3 x x 2 + 1 - - 3 < 0,1

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para ε = 0,05 , faremos a mesma coisa:

- 3 - 0,05 < 1 - 3 x x 2 + 1 < 3 - 0,05

Então y = - 3,05   e   y = - 2,95 .

Plotando o gráfico da função f ( x ) com uma ferramenta gráfica, podemos ver quais valores de x correspondem aos y achados acima.

Para y = - 2,95   t e m o s   q u e   x = 21,2 .

Então, podemos estabelecer um número N imediatamente maior:

N = 22

Deste modo que, para qualquer:

x > 22         e n t ã o   1 - 3 x x 2 + 1 - - 3 < 0,05

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

ε = 0,1 → N = 11

ε = 0,05 → N = 22

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