Enunciado

Prove que

lim x → 2 ⁡ 3 x - 2 2 = + ∞

Usando a definição 2.4 . 1

Definição 2.4 . 1 :

Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto I contendo a , exceto possivelmente no próprio a . Quando x tende a a , f x cresce indefinidamente e escrevemos

lim x → a ⁡ f x = + ∞

Se para qualquer número N > 0 , existir um δ > 0 tal que

Se 0 < x - a < δ então f x > N

Passo 1

Essas questões pela definição são bem chatinhas. Mas vou te mostrar como é a ideia geral.

Precisamos achar o valor de δ para um N qualquer onde 0 < x - a < δ

Na prática fazemos f x > N e tentamos achar x - a .

Nesse caso, onde a = 2 , temos que partir de

f x > N → 3 x - 2 2 > N

E chegarmos em x - 2

Vamos com calma e conseguimos pegar o passo a passo

Passo 2

Temos

3 x - 2 2 > N

Vamos multiplicar essa desigualdade por x - 2 2 e dividir por N . Que assim já aparece o x - 2 menor que alguém. Podemos fazer isso porque tanto x - 2 2 e N são positivos.

3 N > x - 2 2

Escrevendo de forma mais próxima do que queremos

x - 2 2 < 3 N

Para aparecer o módulo, vamos tirar a raiz de todo mundo

Isso porque raiz de um número ao quadrado é o módulo dele.

x - 2 < 3 N

Módulo é sempre positivo, então temos

0 < x - 2 < 3 N

Então se pegarmos

δ = 3 N

Garantirmos que

f x > N

Porque é só fazer o caminho inverso que escrevemos aqui. Vou reescrever no próximo passo só para te mostrar

Passo 3

Peguemos N > 0 e sendo δ = 3 N com

0 < x - 2 < 3 N

Elevando os dois lados ao quadrado

x - 2 2 < 3 N

Multiplicando por N , temos

N x - 2 2 < 3

Dividindo por x - 2 2 temos

N < 3 x - 2 2

Mas

f x = 3 x - 2 2

Então teremos que, existe um δ , que é 3 N

Onde

0 < x - 2 < δ = 3 N ⇒ N < f x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine o limite lim x → 2 - ⁡ 3 x - 2