15. ∫ 3 - 2 t + t 2 d t

Passo 1

Para essa integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ ∫ 3 d t ] - [ ∫ ( 2 t ) d t ] + [ ∫ ( t 2 ) d t ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 2

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: ∫ ( a t )   d t = a ∫ t d t .

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = [ 3 ∫ ( 1 ) d t ] - [ 2 ∫ t d t ] + [ ∫ t 2 d t ]

Passo 3

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = ∫ ( t n ) d t =   t n + 1 n + 1 + c      

Onde “n” é o expoente da variável.

Quando estamos resolvendo a integral proposta, percebemos que aparece uma integral de uma constante, podemos resolver essa integral da seguinte forma:

I = ∫ a d t  

I = a ∫ 1 d t

Sabendo que qualquer valor elevado ao expoente zero(0) é igual a um (1) então podemos escrever a integral acima da seguinte forma.

I = a ∫ ( t 0 ) d t = a t 0 + 1 = a t

Tendo agora a base teórica necessário, passamos ao próximo passo.

Passo 4

Agora é possível dar início á resolução da integral:

I = [ 3 ∫ ( 1 ) d t ] - [ 2 ∫ t d t ] + [ ∫ t 2 d t ]

I = 3 t 0 + 1 - 2 t 1 + 1 1 + 1 + t 2 + 1 2 + 1 + c

I = 3 t - 2 t 2 2 + t 3 3 + c

OBS: Não se esqueçam de colocar o resultado da integral somado a uma constante, é ela que vai diferenciar sua função de uma infinidade de outras que são paralelas a ela.

Resposta

Chegamos então ao resultado final da integral:

I = 3 t - t 2 + t 3 3 + c

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