Enunciado

37. O ponto (3,2) está numa curva e em qualquer ponto (x,y) sobre a curva a inclinação da reta tangente é igual a 2x-3. Ache uma equação da curva.

Passo 1

Vamos primeiramente entender as informações que nos foram dadas. Temos um ponto (3,2) isso significa que para nossa curva, quando x=3 então f(x)=y=2. Sabe-se por base teórica que ao derivarmos uma função encontramos a inclinação de sua reta tangente, seguindo a mesma linha de pensamento, se integrarmos a inclinação da reta tangente encontramos a primitiva ( a curva procurada). Vamos ao trabalho.

Passo 2

Sabemos agora que para achar a equação da curva precisamos integrar a inclinação da reta tangente. Vamos chamar a função da inclinação da reta tangente de g ( x ) e a equação da curva (ou primitiva) de F x .   Dessa forma temos a seguinte analise:

F x = ∫ g x d x  

Logo, a primitiva pode ser encotrada da seguinte forma:

F x = ∫ 2 x - 3 d x

F x = ∫ ( 2 x ) d x - ∫ ( 3 ) d x

F x = 2 ∫ x   d x - 3 ∫ 1 d x

F x = 2 x 1 + 1 1 + 1 - 3 x + c

F x = x 2 - 3 x + c

Pronto, estamos perto de encontrar a equação da curva desejada.

Passo 3

Agora que integramos a inclinação da reta tangente, vamos analisar o ponto que nos foi dado pelo exercício. O ponto (3,2) significa que quando o x=3, y=2, dessa forma podemos escrever da seguinte maneira.

Se x=3 entao F(x)=2 ؞ F(3)=2. Isso significa que se substituirmos x por 3 na função da curva encontramos o valor 2. Com isso podemos achar a constante da curva.

F x = x 2 - 3 x + c

2 = 3 2 - 3 . 3 + c

2 = 9 - 9 + c

c = 2

Com isso temos todas as partes fundamentais da equação da curva.

Resposta

Portanto nossa resposta final é:

F x = x 2 - 3 x + 2

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