36. ∫ 3 t a n θ - 4 c o s 2 θ c o s θ d θ

Passo 1

No primeiro momento precisamos perceber que a fração pode ser escrita como a diferença de duas frações de mesmo denominador, de modo que nossa integrl fica escrita da seguinte forma:

I = ∫ ( 3 t a n θ c o s θ - 4 c o s 2 θ c o s θ ) d θ

Passamos então ao próximo passo.

Passo 2

Para resolver esse exercício temos que fazer com que nossa integral fique como uma imediata.

Nesse caso começaremos utilizando a seguinte propriedade de integrais: a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = ∫ 3 t a n θ c o s θ d θ - ∫ 4 c o s 2 θ c o s θ d θ

Fazendo a simplificação as segunda parte da integral, temos:

I = ∫ 3 t a n θ c o s θ d θ - ∫ 4 c o s θ d θ

Agora tiramos todas as constantes da integral.

I = 3 ∫ t a n θ c o s θ d θ - 4 ∫ c o s θ d θ

Passo 3

Para conseguir resolver a primeira parte da integral precisamos escrever a tangente como sua forma original.

tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Logo a integral proposta assume a seguinte forma:

I = 3 ∫ s i n θ c o s θ c o s θ d θ - 4 ∫ c o s θ   d θ

I = 3 ∫ s i n θ c o s 2 θ d θ - 4 ∫ c o s θ   d θ

I = 3 ∫ ( s i n θ c o s θ   . 1 c o s θ )   d θ - 4 ∫ c o s θ   d θ

I = 3 ∫ t a n θ . s e c θ d θ - 4 ∫ cos ⁡ θ   d θ

Chegamos então a diferença de duas integrais conhecidas.

Resposta

I = 3 s e c θ - 4 s e n θ + c

Está ai nosso resultado final.

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