34. ∫ ( 3 c s c 2 t - 5 s e c t .tan(t) dt

Passo 1

Para resolver esse exercício temos que fazer com que nossa integral fique como uma imediata.

Nesse caso começaremos utilizando a seguinte propriedade de integrais: a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = ∫ [ ( 3 c s c 2 t ) d t ] - [ ∫ ( 5 sec ⁡ t . tan ⁡ t ) d t ]

Passo 2

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: ∫ a f ( u )   d x = a ∫ f ( u ) d x . Podendo f(u) ser uma função polinomial ou trigonométrica

(para nosso caso, f(u) é trigonométrica)

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = 3 ∫ ( csc 2 t ) ⁡   d t - 5 ∫ sec ⁡ t . tan ⁡ t d t

Agora chegamos a soma de duas integrais imediatas.

Resposta

Chegamos então ao resultado da integral:

I = - 3 cot ⁡ t - 5 sec ⁡ t + c

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