35. ∫ ( 2 c o t 2 θ - 3 t a n 2 θ ) d θ

Passo 1

Para conseguir prosseguir precisamos recordar de propriedades trigonométricas, são elas :

1 + c o t 2 θ = c s c 2 θ

Logo, encotramos uma substituição para “cot   θ ”.

c o t 2 θ = c s c 2 θ - 1

Podemos encontrar uma substituição para “tan   θ ”.

1 + t a n 2 θ = s e c 2 θ

t a n 2 θ = s e c 2 θ - 1

Fazendo as devidas substituições na integral proposta obtemos:

I = ∫ [ 2 ( c s c 2 θ - 1 ) - 3 ( s e c 2 θ - 1 ) d θ

Aplicando a distributiva:

I = ∫ [ ( 2 c s c 2 θ - 2 ) - ( 3 s e c 2 θ - 3 ) d θ

Passo 2

Para resolver esse exercício temos que fazer com que nossa integral fique como uma imediata.

Nesse caso começaremos utilizando a seguinte propriedade de integrais: a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = ∫ 2 c s c 2 θ d θ - ∫ 2 d θ - ∫ 3 s e c 2 θ d θ - [ - ∫ 3 d θ ]

I = ∫ 2 c s c 2 θ d θ - ∫ 2 d θ - ∫ 3 s e c 2 θ d θ + ∫ 3 d θ

I = ∫ 2 c s c 2 θ d θ - ∫ 3 s e c 2 θ d θ + ∫ 1   d θ

Vamos então ao próximo passo.

Passo 3

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: ∫ a f ( u )   d x = a ∫ f ( u ) d x . Podendo f(u) ser uma função polinomial ou trigonométrica

(para nosso caso, f(u) é trigonométrica)

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = 2 ∫ c s c 2 θ d θ - 3 ∫ s e c 2 θ d θ + ∫ d θ

Essas são todas integrais imediatas que a gente conhece:

∫ csc 2 ⁡ θ d θ = - cot ⁡ θ

∫ sec 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ

∫ d θ = θ

I = 2 - cot ⁡ θ - 3 tan ⁡ θ + θ + C

I = - 2 cot ⁡ θ - 3 tan ⁡ θ + θ + C

Resposta

Chegamos então ao resultado final:

I = - 2 cot ⁡ θ - 3 tan ⁡ θ + θ + C

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