∫ 1 x 3 + x 2 + x d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

∫ 1 x ( x 2 + x + 1 ) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

1 x ( x 2 + x + 1 ) = A 2 x + 1 + B ( x 2 + x + 1 ) + C x

Isolando   1 , vamos achar

1 = ( A 18 x + B ) x + C ( x 2 + x + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = - 1 2 ;                     B = - 1 2 ;                     C = 1 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

1 x ( x 2 + x + 1 ) = - 1 2 2 x + 1 - 1 2 ( x 2 + x + 1 ) + 1 x

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ 1 x ( x 2 + x + 1 ) d x = ∫ - 1 2 2 x + 1 - 1 2 ( x 2 + x + 1 ) d x + ∫ 1 x d x

Resposta

∫ 1 x 3 + x 2 + x d x = - ( t a n - 1 ( 1   +   2 x 3 3 )   +   l n ⁡ ( x )   - 1 2   l n ( 1   +   x   +   x 2 ) + c

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