∫ d x x 2 ( x + 1 ) 2

Passo 1

Vamos para frações parciais, temos que:

1 x 2 ( x + 1 ) 2 = A x 2 + B x + C ( x + 1 ) 2 + D ( x + 1 )

Isolando 1, vamos achar

1 = A ( x + 1 ) 2 + B x ( x + 1 ) 2 + C x 2 + D x 2 ( x + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 1 ;                     B = - 2 ;                     C = 1 ;                           D = 2

Agora substituindo os valores de A, B, C e D, temos:

1 x 2 ( x + 1 ) 2 = 1 x 2 - 2 x + 1 ( x + 1 ) 2 + 2 ( x + 1 )

Passo 2

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ d x x 2 ( x + 1 ) 2 = ∫ d x x 2 - ∫ 2 d x x + ∫ d x ( x + 1 ) 2 + ∫ 2 d x ( x + 1 )

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ d x ( x - 2 ) ( x + 2 ) = - 2 x + 1 x 2 + x - 2 ln ⁡ x + 2 ln ⁡ x + 1 + c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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