∫ 3 x 2 - x + 1 x 3 - x 2 d x

Passo 1

Primeiro vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

∫ 3 x 2 - x + 1 x 2 ( x - 1 ) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

3 x 2 - x + 1 x 2 ( x - 1 ) = A x 2 + B x + C ( x - 1 )

Isolando 3 x 2 - x + 1 , vamos achar

3 x 2 - x + 1 = A ( x - 1 ) + B x ( x - 1 ) + C x 2

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = - 1 ;                     B = 0 ;                   C = 3

Agora substituindo os valores de A, B e C, temos:

3 x 2 - x + 1 x 2 ( x - 1 ) = - 1 x 2 + 3 ( x - 1 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ 3 x 2 - x + 1 x 2 ( x - 1 ) d x = ∫ - 1 x 2 d x + ∫ 3 ( x - 1 ) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ 3 x 2 - x + 1 x 2 x - 1 d x = 1 / x   +   3   l n ⁡ | 1   -   x |

Resposta

∫ 3 x 2 - x + 1 x 3 - x 2 d x = 1 x +   3 ln ⁡ 1   -   x + c

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