∫ 1 x 3 + 3 x 2 d x

Passo 1

Primeiro vemos que as raízes do denominador são 0 e -3, logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

∫ 1 x 2 ( x + 3 ) d x

Para x diferente de 0 e - 3 .

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

1 x 2 ( x + 3 ) = A x 2 + B x + C x + 3

Isolando   1 , vamos achar

1 = A ( x + 3 ) + B x x + 3 + C x 2

Vemos que agora os valores 0 e - 3 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B e C .

A = - 1 9 ;                     B = 1 3 ;                   C = 1 9

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

1 x 2 ( x + 3 ) = - 1 9 x + 1 3 x 2 + 1 9 x + 3

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ 1 x 2 ( x + 3 ) d x = ∫ 1 3 x 2 d x - ∫ 1 9 x d x + ∫ 1 9 x + 3 d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ 1 x 2 ( x + 3 ) d x = - 1 3 x - l n ⁡ | x | 9 + l n | x + 3 | 9

Resposta

∫ 1 x 3 + 3 x 2 d x = - 1 3 x - l n ⁡ | x | 9 + l n | x + 3 | 9 + c

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