∫ ( 4 x - 2 ) d x x 3 - x 2 - 2 x

Passo 1

Primeiro vemos que as raízes do denominador são 2 e -1 e 0, logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

∫ ( 4 x - 2 ) d x x ( x - 2 ) ( x + 1 )

Colocando a constante para fora da integral

2 ∫ ( 2 x - 1 ) d x x ( x - 2 ) ( x + 1 )

Para x diferente de 2 e -1 e 0.

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

( 2 x - 1 ) d x x ( x - 2 ) ( x + 1 ) = A x + B ( x - 2 ) + C ( x + 1 )

Isolando 2 x - 1 , vamos achar

2 x - 1 = A x - 2 x + 1 + B x x + 1 + C x ( x - 2 )

Vemos que agora os valores 2 e -1 e 0 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B e C.

A = 1 2 ;                     B = 1 2 ;                   C = - 1

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

( 2 x - 1 ) d x x ( x - 2 ) ( x + 1 ) = 1 2 x + 1 2 ( x - 2 ) - 1 ( x + 1 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

2 ∫ ( 2 x - 1 ) d x x ( x - 2 ) ( x + 1 ) = 2 1 2 ∫ 1 x d x + 1 2 ∫ 1 ( x - 2 ) d x - ∫ 1 ( x + 1 ) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

2 ∫ ( 2 x - 1 ) d x x ( x - 2 ) ( x + 1 ) = l n x + l n x - 2 - 2 l n ⁡ | x + 1 |

Resposta

∫ ( 4 x - 2 ) d x x 3 - x 2 - 2 x = l n x + l n x - 2 - 2 l n ⁡ | x + 1 | + c

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