∫ x 2 + 4 x - 1 x 3 - x d x

Passo 1

Primeiro vemos que as raízes do denominador são 0, 1 e -1, logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

∫ x 2 + 4 x - 1 x ( x - 1 ) ( x + 1 ) d x

Para x diferente de 0, 1 e -1.

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

x 2 + 4 x - 1 x ( x - 1 ) ( x + 1 ) = A x + B ( x - 1 ) + C x + 1

Isolando x 2 + 4 x - 1   , vamos achar

x 2 + 4 x - 1 = A ( x - 1 ) ( x + 1 ) + B x ( x + 1 ) + C x ( x - 1 )

Vemos que agora os valores 0, 1 e -1 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B e C.

A = 1 ;                     B = 2 ;                   C = - 2

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

x 2 + 4 x - 1 x ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 1 x + 2 ( x - 1 ) - 2 x + 1

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ x 2 + 4 x - 1 x ( x - 1 ) ( x + 1 ) d x = ∫ 1 x d x + ∫ 2 x - 1 d x - ∫ 2 x + 1 d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ x 2 + 4 x - 1 x ( x - 1 ) ( x + 1 ) d x = ln ⁡ x + 2 ln ⁡ x - 1 - 2 l n | x + 1 |

Resposta

∫ x 2 + 4 x - 1 x 3 - x d x = ln ⁡ x + 2 ln ⁡ x - 1 - 2 l n | x + 1 | + c

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