Enunciado

Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 5 metros de altura. Um homem com 2 m de altura anda afastando-se do poste com velocidade de 1,5 m/s ao longo de uma reta. Com que velocidade se move a ponta de sua sombra quando ele está a 10 m do poste?

(a) Quais são as quantidades dadas no problema?

(b) Qual é a incógnita?

(c) Faça um desenho da situação para qualquer instante t .

(d) Escreva uma equação que relacione as quantidades.

(e) Termine a resolução do problema.

Passo 1

Opaa, fala ae! Beleza?? Bora resolver esse problema!

Um homem com 2 m de altura tá andando em linha reta a 1,5 m/s se afastando de um poste com 5   m de altura. Ou seja: d x d t = 1,5   m / s

A medida que o homem vai se afastando do poste a sua sombra também se afasta.

a que velocidade a sombra se afasta quando ele esta a 10   m   do poste, ou seja:

d s s d t = ? ? ? ,

Mas não é só isso, temos vários itens pra responder que vão nos ajudar a chegar na resposta final! Bora lá?!

Passo 2

Item a - Os dados que o problema nos dá:

Isso daqui a gente já respondeu ali em cima! Temos

  • A altura do poste ( 5   m );
  • A altura do homem ( 2   m );
  • A velocidade com que o homem se distancia do poste em um eixo O x que é :

d x d t = 1,5   m / s

Passo 3

Item b: O que que o problema tá pedindo:

Também respondemos isso no Passo 1! A incógnita é a taxa de variação da posição da sombra, ou seja, s ' t .

Passo 4

Item c -Vamos fazer um esqueminha do problema:

Passo 5

Item d: Esse item pede pra gente relacionar nossas variáveis.

Para relacionar x e y podemos usar semelhança de triângulos:

x + y 5 = y 2

x + y = 5 2 y

y = 2 3 x

Passo 6

Item e: Agora a gente finaliza a questão!

Gente, temos que achar a velocidade da ponta da sombra quando x = 10   m , certo? Então, primeiro, vamos entender o quanto a sombra anda em relação ao poste.

Em relação ao poste, temos que a distância da ponta da sombra é x + y , certo? Então, para achar a velocidade, temos que derivar a distância da sombra, ou seja:

d d t ( x + y )

Como vimos no passo anterior: y = 2 3 x . Assim:

d d t x + 2 3 x = d d t 5 3 x

Lembrando que queremos essa derivada quando x = 10   m . Então, derivando:

d d t 5 3 x = 5 3 d x d t

Opa, o enunciado nos dá que x ' t = d x d t = 1,5   m/s . Com isso:

5 3 d x d t = 5 3 1,5 = 2,5   m/s

Prontinho!! Só isso! Essa é a velocidade da ponta da sombra.

Resposta

A ponta da sombra do homem tem velocidade de 2,5   m/s

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