Enunciado

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Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 5 metros de altura. Um homem com 2 m de altura anda afastando-se do poste com velocidade de 1,5 m/s ao longo de uma reta. Com que velocidade se move a ponta de sua sombra quando ele está a 10 m do poste?

(a) Quais são as quantidades dadas no problema?

(b) Qual é a incógnita?

(c) Faça um desenho da situação para qualquer instante t .

(d) Escreva uma equação que relacione as quantidades.

(e) Termine a resolução do problema.

Passo 1

Opaa, fala ae! Beleza?? Bora resolver esse problema!

Item a,b,c:

Os dados fornecidos pelo enunciado foram:

  • A altura do poste ( 5   m );
  • A altura do homem ( 2   m );
  • A velocidade com que o homem se distancia do poste em um eixo O x que é x ' t = 1,5   m / s .

Essas informações serão o suficiente pra determinarmos a taxa de variação da distância da sombra ( y ) do homem ao poste, d d t ( x + y ) , quando x = 10   m . Essa é a incógnita do problema! Show, agora podemos montar um esboço do problema:

Onde, para qualquer instante, temos essa situação:

Passo 2

Item d:

Esse item pede pra gente relacionar nossas variáveis. Para relacionar x e y podemos usar semelhança de triângulos:

x + y 5 = y 2

x + y = 5 2 y

y = 2 3 x

Passo 3

Item e:

Gente, temos que achar a velocidade da ponta da sombra quando x = 10   m , certo? Então, primeiro, vamos entender o quanto a sombra anda em relação ao poste.

Em relação ao poste, temos que a distância da ponta da sombra é x + y , certo? Então, para achar a velocidade, temos que derivar a distância da sombra, ou seja:

d d t ( x + y )

Como vimos no passo anterior: y = 2 3 x . Assim:

d d t x + 2 3 x = d d t 5 3 x

Lembrando que queremos essa derivada quando x = 10   m . Então, derivando:

d d t 5 3 x = 5 3 d x d t

Opa, o enunciado nos dá que x ' t = d x d t = 1,5   m/s . Com isso:

5 3 d x d t = 5 3 1,5 = 2,5   m/s

Prontinho!! Só isso! Essa é a velocidade da ponta da sombra.

Resposta

A ponta da sombra do homem tem velocidade de 2,5   m/s

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