Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 3.7 - Ex. 33

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Se p ( x ) for o valor total da produção quando há x trabalhadores em uma fábrica, então a produtividade média da força de trabalho da fábrica é

A x = p x x

(a) Encontre A ' x . Por que a companhia precisa empregar mais trabalhadores se A ' x > 0 ?

(b) Mostre que A ' x > 0 se p ' ( x ) for maior que a produtividade média.

Passo 1

Item a:

Para encontrar A ' x devemos derivar a função A x , e para isso vamos aplicar a regra do quociente:

A ' x = d A d x = d d x p x × x - p x × d d x ( x ) x 2 =   x ×   p ' x - p x x 2

A ' x = p ' x x - p x x 2

Caso A ' x > 0 , a companhia precisa empregar mais trabalhadores porque ser a derivada de uma função é positiva em um ponto, então essa função é crescente nesse ponto, logo a produtividade média da força de trabalho aumenta.

Passo 2

Item b:

Primeiramente vamos trabalhar na função A ' x :

A ' x = p ' x x - p x x 2

A ' x = p ' x x - p x x × 1 x

A ' x = p ' x x - A x x

A ' x × x = p ' x - A ( x )

Se p ' ( x ) for maior que a produtividade média, isto é:

p ' x > A x

p ' x - A x > 0

A ' x × x > 0

Devido ao fato de o número de trabalhadores ser sempre maior que zero (afinal, para a fábrica funcionar dever ter pelo menos um trabalhador, não é mesmo?!!), temos que x > 0 e:

A ' x × x x   > 0 x

A ' x > 0

Resposta

(a) A ' x = p ' x x - p x x 2 . Caso A ' x > 0 , a companhia precisa empregar mais trabalhadores porque ser a derivada de uma função é positiva em um ponto, então essa função é crescente nesse ponto, logo a produtividade média da força de trabalho aumenta.

(b) Demonstração na resolução.

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