Enunciado

Às 11 h da manhã, a temperatura externa era de 76 ℉ . Às 11 h da noite, havia caído para 52 ℉ .

(a) Mostre que, em algum instante durante esse período, a temperatura estava decrescendo a uma taxa de 2 ℉ / h .

(b) Suponha ser de seu conhecimento que a temperatura atingiu os 88 ℉ em algum momento entre às 11 h da manhã e às 11 h da noite. Mostre que, em algum instante durante esse período, a temperatura estava caindo a uma taxa maior que 3 ℉ / h .

Passo 1

(a) Para provar isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, para calcular a taxa instantânea de variação da temperatura. Pelo TVM, supondo satisfeitas suas hipóteses, existe um ponto no meio do percurso, ou seja entre 11 h e 23 h , em que:

f ' c = f 23 - f 11 23 - 11

Ou seja, em pelo menos um ponto do percurso, a temperatura estava variando exatamente a variação média entre 11 h e 23 h .

Passo 2

Dito isto, podemos apenas ver qual a variação média entre 11 h e 23 h . Lembrando que queremos algo em ℉ / h .

Calculando a variação média, temos:

v m é d i a = 52 ℉ - 76 ℉ 23 h - 11 h = - 24 12 ℉ / h = - 2 ℉ / h

Como vimos que, em pelo menos um ponto do percurso a temperatura estava variando exatamente a variação média entre 11 h e 23 h por conta do TVM e agora vimos que v m é d i a = - 2 ℉ / h , podemos afirmar que a variação da temperatura foi, pelo menos uma vez entre 11 h e 23 h , exatamente - 2 ℉ / h .

Passo 3

(b) A ideia aqui é exatamente a mesma da letra anterior, agora só vamos mudar os números. Queremos mostrar que a variação média em algum momento entre 11 h e 23 h foi menor que - 3 ℉ / h , ou seja, caiu mais que 3 ℉ / h . Pelo TVM:

v m é d i a = 52 ℉ - 88 ℉ 23 h - 11 h = - 36 12 ℉ / h = - 3 ℉ / h

Então, supondo que a demoraram 12 h para sair de 88 ℉ para 52 ℉ , a taxa de variação média foi - 3 ℉ / h . Mas como essa variação ocorreu no meio do processo entre 11 h e 23 h , essa variação teve que acontecer em menos tempo que 12 h , pois ela não representou o processo todo, apenas uma parte dele. Logo, se diminuirmos o tempo para achar a variação média da temperatura, vamos aumentar o v m é d i a , ou seja, a temperatura cairá a uma taxa maior que 3 ℉ !

Resposta

Prova no passo a passo.

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