Enunciado

Suponha que dois corredores de 100 metros rasos acabam empatados. Mostre que, pelo menos uma vez durante a corrida, ambos tiveram a mesma velocidade.

Passo 1

Para provar isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, para calcular a velocidade instantânea do corredor. Pelo TVM, supondo satisfeitas suas hipóteses, existe um ponto no meio do percurso, ou seja entre 0 e 100 m , em que:

f ' c = f t f i n a l - f 0 t f i n a l - 0 = f t f i n a l - f 0 ∆ t

Ou seja, em pelo menos um ponto do percurso, o corredor tinha velocidade exatamente igual a velocidade média no percurso e isso vale para os dois corredores

Obs.: ∆ t é o tempo que eles demoraram para correr os 100 metros. Se eles chegaram empatados, demoraram o mesmo tempo ∆ t = t f i n a l - 0 .

Passo 2

Dito isto, podemos apenas ver qual a velocidade média do corredor no percurso.

Calculando a velocidade média, temos:

v m é d i a = 100 m ∆ t

Como vimos que, em pelo menos um ponto do percurso, o corredor tinha velocidade exatamente igual a velocidade média no percurso por conta do TVM e agora vimos que v m é d i a = 100 m ∆ t , podemos afirmar que o o corredor tinha, pelo menos uma vez durante o percurso, uma velocidade de exatamente 100 m ∆ t .

Só que, como os dois corredores correram os mesmos 100 m no mesmo tempo ∆ t , a conta para encontrar a velocidade média de cada um dos dois é igual e, portanto, eles possuem a mesma v m é d i a . Com isso, podemos afirmar que, pelo menos uma vez durante a corrida, ambos tiveram a mesma velocidade, que era igual a velocidade média.

Resposta

Prova no passo a passo.

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Determine qual das hipóteses do teorema do valor médio não é satisfeita. Faça um esboço do gráfico de y = f ( x ) e da reta que passa pelos pontos a ,f a e b ,f b . f x = 3 x - 4 2 3 ,a = - 4 ,b = 5
A interpretação geométrica do teorema do valor médio é que para um valor adequado de c no intervalo aberto ( a ,b ) , a reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto c ,f c é paralela à secante que passa
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A interpretação geométrica do teorema do valor médio é que para um valor adequado de c no intervalo aberto ( a ,b ) , a reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto c ,f c é paralela à secante que passa
Determine qual das hipóteses do teorema do valor médio não é satisfeita. Faça um esboço do gráfico de y = f ( x ) e da reta que passa pelos pontos a ,f a e b ,f b . f x = 2 x + 3 ,s ex3 15 - 2 x ,s ex