Enunciado

No exercício a seguir, comprove o teorema do valor médio para a equação dada no intervalo indicado. Ache então um valor “c” que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio

f x = 1 + c o s x     ; - π 2 , π 2

Passo 1

Bom galera, temos que trabalhar neste exercício com o teorema do valor médio. Ele é bem mais simples do que parece, e vamos esclarecer aqui rapidinho algumas coisas sobre ele, tá bom? Ele funciona da seguinte forma:

Seja uma função f tal que:

  1. Ela seja contínua no intervalo fechado [a,b]
  2. Ela seja derivável no intervalo aberto (a,b)

Então exite um número c no intervalo aberto (a,b), tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Não entendeu nada? Calma... vamos mastigar esse teorema JUNTOS!

Passo 2

A primeira hipótese fala da função ser continua no intervalo fechado [a,b]. Como é uma função senoidal super de boas, a gente sabe que: não só ele é continuo no intervalo fechado [a,b], como também é DERIVÁVEL no intervalo abeto (a,b), porque toda função polinomial não racional, existe em todo o eixo x... então... QUE BOOOOOOM! Não está convencido(a) ainda? Vamos para o gráfico então:

Tá vendo galerinha? A gente pode ver claramente que a função é contínua e derivável no nosso intervalinho dado!!

Passo 3

Agora neste passo, iremos nos concentrar em comprovar a parte do teorema que diz que para a nossa função, exite:

f ' c = f b - f a b - a

Vamos lá! Nossa função aplicada em a:

f x = 1 + c o s x ; a = - π 2

f - π 2 = 1 - cos ⁡ - π 2

f - π 2 = 1

Agora para nossa função aplicada em b:

f x = 1 + c o s x ; a = π 2

f π 2 = 1 - cos ⁡ π 2

f π 2 = 1

Portanto, nosso f’(c):

f ' c = 1 - 1 π 2 + π 2 _

f ' c = 0  

Passo 4

Agora precisamos equacionar nossa função derivada em c, para achar o valor de c e enfim terminar nossa questão. Vamo lá! Primeiro derivar nossa função e igualar ao valor de f’(c) = 0 .

f x = 1 + c o s x ;

- s i n x 2 1 + c o s x = 0

Para esse caso, o intervalo de x não está compreendido entre - π 2 , π 2 , logo o nosso teorema não encaixa para esse tipo de resolução.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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