Enunciado

Máximo valor na reta de interseção Encontre o valor má-

ximo que ƒ(x, y, z) = x2 + 2y – z2 pode ter na reta de interseção

dos planos 2x – y = 0 e y + z = 0.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, encontraremos o valor máximo que f ( x , y , z ) = x 2 + 2 y - z 2 pode ter sobre a reta de interseção dos planos 2 x - y = 0 e y + z = 0 . Acompanhe!

Passo 2

Sejam as restrições:

g 1 ( x , y , z ) = 2 x - y = 0 g 2 ( x , y , z ) = y + z = 0 .

Calcularemos, então, os gradientes das funções para aplicação do método de Lagrange:

∇ g 1 = 2 i - j ∇ g 2 = j + k ∇ f = 2 x i + 2 j - 2 z k

Passo 3

Aplicando o método de Lagrange teremos:

∇ f = λ ∇ g 1 + μ ∇ g 2 2 x i + 2 j - 2 z k = λ ( 2 i - j ) + μ ( j + k ) 2 x i + 2 j - 2 z k = 2 λ i + ( μ - λ ) j + μ k

Agora, separando as componentes teremos:

2 x = 2 λ 2 = μ - λ   - 2 z = μ

Observamos que x = λ .

Passo 4

Assim, usando x = λ e - 2 z = μ em 2 = μ - λ , temos:

2 = - 2 z - x x = - 2 z - 2

Usando o valor de x encontrado em 2 x - y = 0 :

2 ( - 2 z - 2 ) - y = 0   - 4 z - 4 - y = 0

Usando a equação - 4 z - 4 - y = 0 e y + z = 0 , chegamos a: z = - 4 3 , levando a y = 4 3 e x = 2 3 .

Resposta

Portanto, o ponto 2 3 , 4 3 , - 4 3 nos dá o valor máximo da função com as restriç̃os impostas.Esse valor corresponde a:

f 2 3 , 4 3 , - 4 3 = 2 3 2 + 2 4 3 - - 4 3 2 f 2 3 , 4 3 , - 4 3 = 4 3 f 2 3 , 4 3 , - 4 3 = 4 3

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