Enunciado

A meia-vida do polônio é de 139 dias, mas uma amostra que você recebeu não será mais útil quando 95 % dos núcleos radioativos presentes no dia em que a amostra chegou tiverem se desintegrado. Por quantos dias após a chegada da amostra você conseguirá usar o polônio?

Passo 1

Pelo modelo de decaimento radioativo, temos

y = y 0 e - k t

Por outro lado, sabemos que

k = ln ⁡ 2 m e i a - v i d a

k = ln ⁡ 2 139 ≈ 0,00499

Dessa maneira,

y = y 0 e - ( 0,00499 ) t

Passo 2

Desejamos determinar quantos anos levará para que 95 % do polônio decaia. Ou seja, qual valor t , quando y = 0,05 y 0   . Dessa maneira,

0,05 y 0 = y 0 e - ( 0,00499 ) t

⇒ 0,05 y 0 = y 0 e - ( 0,00499 ) t

⇒ 0,05 = e - ( 0,00499 ) t

⇒ l n ⁡ ( 0,05 ) = l n ⁡ ( e - 0,00499 t )

⇒ - 0,00499 t = l n ⁡ ( 0,05 )

⇒ t = ln ⁡ 0,05 - 0,00499 ≈ 600 Portanto, o polônio poderá ser usado em até aproximadamente   600 dias, após a chegada da amostra.

Resposta

t ≈ 600  

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Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.48. y ' + 2 y = 1 , no qual y 0 = 5 2 .