Enunciado

Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

48. y ' + 2 y = 1 , no qual y 0 = 5 2 .

Passo 1

Então galera, o nosso objetivo nessa questão é, primeiramente, resolver a equação diferencial da forma que estamos estudando, que é separando as variáveis, isto é, integrando tudo que tem x de um lado e tudo que tem y do outro, beleza? Show!

Quando a questão fala de condição inicial isso quer dizer que depois de resolvermos a equação diferencial, aplicando os pontos que a questão deu, conseguiremos determinar a constante arbitrária que surge na integração. O ponto dado serve exclusivamente para isso, tudo bem? Então vamos começar!

A equação que nos foi dada é:

y ' + 2 y = 1

Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:

d y d x = 1 - 2 y

d y 1 - 2 y = d x

Opa! Variáveis devidamente separadas. Então simbora para o último passo!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ d y 1 - 2 y = ∫ d x

Para a integral da esquerda vamos aplicar uma substituição simples, ok? A substituição será:

u = 1 - 2 y

d u = - 2 d y ⇒ - d u 2 = d y

Substituindo na integral:

- 1 2 ∫ d u u = - 1 2 ln ⁡ u + c 1

Voltando para y :

∫ d y 1 - 2 y = - 1 2 ln ⁡ 1 - 2 y + c 1

Já a integral da direita é bem tranquila, saca só:

∫ d x = x + c 2

Passo 3

Por fim, igualando os resultados:

- 1 2 ln ⁡ 1 - 2 y + c 1 = x + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

- 1 2 ln ⁡ 1 - 2 y = x + c 3

ln ⁡ 1 - 2 y = - 2 x + c 3

Simplificando, teremos:

1 - 2 y = c 3 e - 2 x

Note que agora que resolvemos a equação diferencial surgiu uma constante arbitrária, conforme discutimos no passo 1. Aplicando o ponto y 0 = 5 2 , teremos:

1 - 2.5 2 = c 3 e 0

∴ c 3 = - 4

Sendo assim, nosso resultado para a condição inicial dada será:

1 - 2 y = - 4 e - 2 x

E está aí a resolução! 😉

Resposta

E está aí a resolução! 😉

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