Enunciado

Nos problemas 13-18, encontre a solução geral para cada equação diferencial.

17. 3 y ' ' ' + 10 y ' ' + 15 y ' + 4 y = 0

Passo 1

Então pessoal, para encontrarmos a solução das equações diferenciais dos problemas 13-18 é beeem tranquilo, pois todas as equações diferenciais são iguais a zero! Mas pera aí, o que isso significa? Isso significa que não precisamos calcular a solução particular do problema, que era JUSTAMENTE a parte mais complexa do trem!

Lembrem-se que a solução para esses problemas tem a seguinte cara:

y = y c + y p

Como não temos solução particular, então:

y = y c

E para calcularmos y c , que é a solução complementar do problema, é MUUITO tranquilo! Basta acharmos as raízes da equação característica fazendo as substituições: y = 1 ,   y ' = m ,   y ' ' = m 2 ,   y ' ' ' = m 3 ,   … e assim por diante!

Agora chega de papo, bora ver como que faz isso aí na prática!

Passo 2

Nossa equação diferencial é:

3 y ' ' ' + 10 y ' ' + 15 y ' + 4 y = 0

Fazendo as substituições:

3 m 3 + 10 m 2 + 15 m + 4 = 0

Das equações de Girard tiramos que:

m 1 + m 2 + m 3 = - b a = - 10 3

m 1 . m 2 + m 1 . m 3 + m 2 . m 3 = c a = 15 3 = 5

m 1 . m 2 . m 3 = - d a = - 4 3

Se pensarmos em três raízes que satisfazem essas três equações AO MESMO TEMPO, teremos:

m 1 = - 1 3

m 2 = - 3 2 + 7 2 i

m 3 = - 3 2 - 7 2 i

Showww!

Passo 3

Como temos três raízes distintas no qual duas são complexas e uma é real, isso significa que nossa solução complementar terá o seguinte formato:

y c = c 1 e m 1 x + e a x c 2 cos ⁡ b x + c 3 s e n   b x

Logo:

y = c 1 e - 1 3 x + e - 3 2 x c 2 cos ⁡ 7 2 x + c 3 s e n   7 2 x

E está aí nossa solução, galera! 😊

Resposta

y = c 1 e - 1 3 x + e - 3 2 x c 2 cos ⁡ 7 2 x + c 3 s e n   7 2 x

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