Enunciado

Nos problemas 13-18, encontre a solução geral para cada equação diferencial.

18. 2 y ' ' ' ' + 3 y ' ' ' + 2 y ' ' + 6 y ' - 4 y = 0

Passo 1

Então pessoal, para encontrarmos a solução das equações diferenciais dos problemas 13-18 é beeem tranquilo, pois todas as equações diferenciais são iguais a zero! Mas pera aí, o que isso significa? Isso significa que não precisamos calcular a solução particular do problema, que era JUSTAMENTE a parte mais complexa do trem!

Lembrem-se que a solução para esses problemas tem a seguinte cara:

y = y c + y p

Como não temos solução particular, então:

y = y c

E para calcularmos y c , que é a solução complementar do problema, é MUUITO tranquilo! Basta acharmos as raízes da equação característica fazendo as substituições: y = 1 ,   y ' = m ,   y ' ' = m 2 ,   y ' ' ' = m 3 ,   … e assim por diante!

Agora chega de papo, bora ver como que faz isso aí na prática!

Passo 2

Nossa equação diferencial é:

2 y ' ' ' ' + 3 y ' ' ' + 2 y ' ' + 6 y ' - 4 y = 0

Fazendo as substituições:

2 m 4 + 3 m 3 + 2 m 2 + 6 m - 4 = 0

Fatorando isso aí, ou seja, reescrevendo toda essa equação de outra forma, teremos:

m + 2 2 m - 1 m 2 + 2 = 0

Que nos dá as seguintes raízes:

m 1 = - 2

m 2 = 1 2

m 3 = a + b i = 2 i

m 4 = a - b i = - 2 i

Showww!

Passo 3

Como temos quartro raízes no qual duas são distintas e duas são complexas, isso significa que nossa solução complementar terá o seguinte formato:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x + e a x c 3 cos ⁡ b x + c 4 s e n   b x

Logo:

y = c 1 e - 2 x + c 2 e 1 2 x + c 3 cos ⁡ 2 x + c 4 s e n   2 x

E está aí nossa solução, galera! 😊

Resposta

y = c 1 e - 2 x + c 2 e 1 2 x + c 3 cos ⁡ 2 x + c 4 s e n   2 x

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