Enunciado

O método da diluição do contraste é usado para medir a capacidade cardíaca com 6 mg de contraste. As concentrações de contraste, em mg/L, são modeladas por c t = 20 t e - 0,6 t , 0 ≤ t ≤ 10 , onde t é medido em segundos. Calcule a capacidade cardíaca.

Passo 1

Muito bem galera, queremos a capacidade cardíaca, e como calculamos ?

Temos uma fórmulinha para isso:

F = A ∫ 0 T c ( t ) . d t

Onde A é a quantidade de contraste:

A = 6  

Vamos calcular nossa integral separadamente, lembrando que o tempo analisado é de 0 até 10:

∫ 0 T c ( t ) . d t = ∫ 0 10 20 t e - 0,6 t . d t = 20 ∫ 0 10 t e - 0,6 t . d t

Para resolver vamos precisar usar a Integração por Partes:

u = t   →     d u = d t

E:

d v = e - 0,6 t . d t  

Integrando:

∫ d v = ∫ e - 0,6 t . d t  

Chamamos:

w = - 0,6 t

Derivando:

d w = - 6 10 . d t       →       - 10 6 . d w = d t

Substituindo em dv:

v = ∫ e w . - 10 6 . d w = - 10 6 e w

Substituindo w:

v = - 10 6 e - 0,6 t

Agora sim conseguimos lançar na nossa integral:

20 ∫ 0 10 t e - 0,6 t . d t = 20 - 10 6 t e - 0,6 t - ∫ 0 10 - 10 6 e - 0,6 t . d t

= 20 - 10 6 t e - 0,6 t + 10 6 ∫ 0 10 e - 0,6 t . d t

Esta integral já sabemos:

= 20 - 10 6 t e - 0,6 t + 10 6 - 10 6 e - 0,6 t 10 0

= 20 - 10 6 t e - 0,6 t - 10 0 3 6 e - 0,6 t 10 0

Aplicamos o intervalo:

= 20 - 10 6 . 10 . e - 0,6 . 10 - 100 36 e - 0,6 . 10 - - 10 6 . 0 . e - 0,6 . 0 - 100 36 e - 0,6 . 0

= 20 - 10 0 6 . e - 6 - 100 36 e - 6 - - 100 36

Rearranjamos:

= 20 - 700 36 . e - 6 + 100 36 = 2000 36 ( 1 - 7 e - 6 )

Passo 2

Agora para terminar vamos substituir na fórmula que temos:

F = 6 2000 36 ( 1 - 7 e - 6 ) = 216 2000 ( 1 - 7 e - 6 )

Sendo assim:

F ≅ 0,1099 L s

Resposta

0,1099 L s

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