Enunciado

O método esboçado no Problema 30 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja,

a substituição y = (x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta

última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de υ por y/x

fornece a solução da equação original. Em cada um dos problemas de 31 a 38:

(a) Mostre que a equação dada é homogênea.

(b) Resolva a equação diferencial.

(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação

à origem?

d y d x =   - 4 y   +   3 x 2 x   +   y

Passo 1

  1. e (b) Antes de determinar o comportamento da solução, precisamos encontrar qual é a solução final da EDO acima, é visto que ela é do tipo que pode separar para calcular a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem. Vamos fazera substituiçãode y   =   x v .

Assim, temos:

d y d v = y '

y ' = v + x v '

d y d x =   - 4 y   +   3 x 2 x   +   y

d y d v = - 4 x v + 3 x 2 x + x v

d y d v = - 4 v + 3 2 + v

d y = - 4 v + 3   d v 2 + v

Passo 2

  1. e (b) Quando olhamos a equação, percebemos que agora ela é uma EDO do tipo separável.

Agora para termos uma equação dependendo de y e de v, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ d y =   ∫ - 4 v + 3   d v 2 + v  

y = 5 l n v   + 2 -   4 v + c '

y = 5 l n v   +   2 -   4 v + C

Só que no ínicio consideramos que y   =   x v   →   v   =   y x

Ou seja, temos que:

y = -   4 y x + 5   l n   y x   +   2 + C

y   +   x   ( y   +   4 x ) 2 =   C

Passo 3

C) As retas abaixo foram construídas quando C obteve tais valores:

preta – C =2

vermelha – C = 10

azul – C = 20

roxa - C = 100000

Ou seja, a medida que o valor de C aumenta mais a curva se afasta da origem. As curvas são simétricas em relação a origem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada um dos problemas de 9 a 20:(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.(b) Desenhe o gráfico da solução.(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo n
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O método esboçado no Problema 30 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja,a substituição y = xυ(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Estaúltima equação pode ser r
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