Enunciado

O método esboçado no Problema 30 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja,

a substituição y = (x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta

última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de υ por y/x

fornece a solução da equação original. Em cada um dos problemas de 31 a 38:

(a) Mostre que a equação dada é homogênea.

(b) Resolva a equação diferencial.

(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação

à origem?

d y d x =   x   +   3 y x   -   y

Passo 1

  1. e (b) Antes de determinar o comportamento da solução, precisamos encontrar qual é a solução final da EDO acima, é visto que ela é do tipo que pode separar para calcular a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem. Vamos fazera substituiçãode y   =   x v .

Assim, temos:

d y d v = y '

y ' = v + x v '

d y d x =   x   +   3 y x   -   y

d y d v = x   +   3 ( x v ) x   -   ( x v )

d y d v = 1   +   3 v 1   -   v

d y = 1   +   3 v   d v 1   -   v

Passo 2

  1. e (b) Quando olhamos a equação, percebemos que agora ela é uma EDO do tipo separável.

Agora para termos uma equação dependendo de y e de v, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ d y =   ∫ 1   +   3 v   d v 1   -   v  

y = 3 v   + 2 l n v   -   1 + C

Só que no ínicio consideramos que y   =   x v   →   v   =   y x

Ou seja, temos que:

y = 3 y x   + 2 l n y x   -   1 + C

2 x / ( x + y )   + l n   x +   y =   C

Passo 3

C) As retas abaixo foram construídas quando C obteve tais valores:

verde – C =2

roxa – C = 4

preta – C = 6

vermelha - C = 8

Ou seja, todos esses valores de C passam pela origem e são simétricas em relação a origem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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