Método dos mínimos quadrados. Dados n pares de números (a_1, b_1), (a_2, b_2), ..., (a_n, b_n) com n >= 3 em geral não existirá uma função afim f(x) = alpha \* x + beta cujo gráfico passe por todos os n pontos . Entretanto, podemos determinar f de modo que a soma dos quadrados dos erros f(a_i) - b_i seja mínima. Pois bem, determine f para que a soma

E α ,   β = ∑ i = 1 n   f a i - b i 2

seja mínima

Passo 1

Vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os candidatos a mínimo. Primeiro, vamos calcular as derivadas

∂ E ∂ α α , β = ∑ i = 1 n   2 α a i + β - b i ⋅ ( a i )

E,

∂ E ∂ β α , β = ∑ i = 1 n   2 α a i + β - b i

Encontrando os pontos críticos,

∂ E ∂ β α , β =   ∂ E ∂ α α , β = 0    

Temos que

∑ i = 1 n     α a i 2 + β ∑ i = 1 n   a i -   ∑ i = 1 n   a i b i = 0   ∑ i = 1 n     α a i + β ∑ i = 1 n   -   ∑ i = 1 n   b i = 0

Organizando as contas,

∑ i = 1 n     α a i 2 + β ∑ i = 1 n   a i =   ∑ i = 1 n   a i b i   ∑ i = 1 n     α a i + β ∑ i = 1 n   =   ∑ i = 1 n   b i

O ponto de mínimo é a solução do sistema acima.

Resposta

Ponto de mínimo é a solução do sistema:

∑ i = 1 n     α a i 2 + β ∑ i = 1 n   a i =   ∑ i = 1 n   a i b i   ∑ i = 1 n     α a i + β ∑ i = 1 n   =   ∑ i = 1 n   b i

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