Enunciado

Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada.

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0

Passo 1

A questão pede para acharmos soluções da equação diferencial parcial dada:

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0

A dica para resolver problemas assim é reescrever a equação como um produto escalar:

1 ,   1 ⋅ ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y = 0

Ou ainda,

1 ,   1 ⋅ ∇ f = 0

Passo 2

Como o gradiente de f é perpendicular às curvas de nível para todo ( x , y ) no domínio de f e, neste caso, temos que o gradiente também é perpendicular ao vetor ( 1,1 ) , temos que, em todos os pontos, o vetor ( 1,1 ) é tangente às curvas de nível.

Desta forma, como o vetor tangente às curvas de nível é constante, essas curvas são retas cujo vetor diretor é ( 1,1 ) .

Desta forma, temos que

f x , y = c ⇒ a x + b y = k

Como o vetor diretor é ( 1,1 ) , o coeficiente angular dessas retas é

m = 1 1 = - a b ⇒ b = - a

Portanto,

a x - a y = k ⇒ x - y = k a

Passo 3

Temos então que as curvas de nível de f são retas paralelas cujas equações são

x - y - k a = 0

Assim, as soluções da equação diferencial parcial são funções de duas variáveis que assumem sempre o mesmo valor sobre as retas dadas pela equação acima, que é do tipo x - y = c o n s t a n t e . Portanto, a solução mais geral da equação diferencial é

f x , y = g x - y ,

onde g é uma função derivável de uma variável.

Resposta

f x , y = g x - y

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