Enunciado

O método de redução de ordem (Seção 3.4) também pode ser usado para a equação não homogênea

y ' ' + p t y ' + q t y = g t ,

desde que se conheça uma solução y 1 da equação homogênea associada. Seja y = v t y 1 t e mostre que y satisfaz a Eq. (i) se v for solução de

y 1 t v ' ' + 2 y 1 ' + p t y 1 t v ' = g t .

A Eq. (ii) é uma equação linear de primeira ordem em v ' . Resolvendo essa equação, integrando o resultado e depois multiplicando por y 1 t , obtemos a solução geral da Eq. (i).

Passo 1

Para resolvermos, vamos assumir que conhecemos uma solução para nossa EDO e partindo daí iremos fazer algumas manipulações até chegar na forma da Eq. (ii), após isso iremos utilizar a redução de ordem para chegar na forma em que é possível resolver a equação da maneira que é descrita ao final do enunciado.

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos começar fazendo supondo que conhecemos y 1 como solução de uma equação homogênea dada pela forma

y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 = 0

Fazendo com que y = v t y 1 t e substituindo na equação não homogênea, teremos que

v t y 1 t ' ' + p t v t y 1 t ' + q t v t y 1 t = g t

v ' ' y 1 + 2 ⋅ v ' y 1 ' + v ⋅ y 1 ' ' + p t ⋅ v ' y 1 + p t ⋅ v ⋅ y 1 ' + q t v ⋅ y 1 = g t

Como supomos que y 1 é solução, teremos que

v ⋅ y 1 ' ' + p t ⋅ y 1 ' + q t ⋅ y 1 = 0

Substituindo isso na EDO e rearranjando, teremos que

v ' ' ⋅ y 1 + 2 ⋅ y 1 ' + p t ⋅ y 1 ⋅ v ' = g t

Reduzimos a ordem agora da nossa EDO, chamando v ' = w , teremos que

w ' ⋅ y 1 + 2 ⋅ y 1 ' + p t ⋅ y 1 ⋅ w = g t

que será nossa equação final. Vamos analisar o que o enunciado nos diz no final: ele nos fala que se resolvermos essa equação, integrarmos o resultado e multiplicarmos por y 1 vamos obter a solução geral da nossa equação inicial do exercício. Ou seja, w será solução para a EDO, e como w é solução podemos também afirmar que v t será solução também, provando que desde que conheçamos nossa y 1 t podemos obter nossa equação geral.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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