Enunciado

Um método de retardar o crescimento de uma população de insetos sem usar pesticidas é introduzir na população um número de machos estéreis que cruzam com fêmeas férteis, mas não produzem filhotes. Se P representa o número de fêmeas na população de insetos, S , o número de machos estéreis introduzidos a cada geração e r , a taxa de crescimento populacional natural, então a população de fêmeas está relacionada com o instante t por

t = ∫ P + S P   [ r - 1 P - S ]   d P

Suponho que uma população de insetos com 10000 fêmeas cresça a uma taxa de r = 0,10 e que 900 machos estéreis sejam adicionados. Calcule a integral para dar uma equação relacionando a população de fêmeas com o tempo. (Observe que a equação resultante não pode ser resolvida explicitamente para P .)

Passo 1

Olá, meu querido. Yuri aqui estarei te ajudando a resolver essa atividade. Queremos saber a população de fêmeas em relação do tempo, então queremos saber a sua taxa.

Basicamente, o que precisamos fazer é calcular a integral usando frações parciais. É bem importante notar que a variável de integração é P , de modo que r e S são constantes.

Fazendo a decomposição em fatores:

P + S P   [ r - 1 P - S ] = x P + y r - 1 P - S = x r - 1 P - x S + y P P   [ r - 1 P - S ]

x e y são as constantes da decomposição em frações parciais.

Assim,

r - 1   x + y = 1 x = - 1

Portanto, - r + 1 + y = 1 ⇒ y = r . Desta forma,

t = ∫ P + S P   [ r - 1 P - S ]   d P = ∫ - 1 P + r r - 1 P - S d P

Passo 2

Fazendo a integral:

- ∫ d P P = - ln ⁡ P

E

∫ d P r - 1 P - S

u = r - 1 P - S

d u = r - 1 d P

r r - 1 ∫ d u u

r r - 1 ln ⁡ u

r r - 1 ln ⁡ r - 1 P - S

Sendo assim:

t = - ln ⁡ P + r r - 1 ln ⁡ r - 1 P - S + C

Passo 3

Substituindo P = 10000 , S = 900 e r = 0,10 :

t = - ln ⁡ 10000 + 0,1 - 0,9 ln ⁡ 0,9 ⋅ 10000 + 900 + C = - 4 ln ⁡ 10 - 1 9 ln ⁡ 9900 + C

Usando uma calculadora obtemos:

t ≈ C - 10,2

Resposta

t = - ln ⁡ P + r r - 1 ln ⁡ r - 1 P - S + C

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