Calcule a integral

∫ d x x x 2 + 4 2

Passo 1

Nossa integral é a seguinte: ∫ d x x x 2 + 4 2

Como o polinômio já está fatorado vamos partir para separar em frações parciais. Repare que temos um termo ao quadrado no denominador. Logo, as coisas vão ficar assim:

1 x x 2 + 4 2 = A x + B x + C x 2 + 4 + D x + E x 2 + 4 2

Colocando tudo no mesmo denominador:

1 x x 2 + 4 2 = A x ⋅ x 2 + 4 2 x 2 + 4 2   + B x + C x 2 + 4 ⋅ x x 2 + 4 x x 2 + 4   + D x + E x 2 + 4 2 ⋅ x x

Passo 2

Arrumando as coisas, temos:

1 x x 2 + 4 2 = A x 2 + 4 2 + B x + C x 3 + 4 x + ( D x + E ) ( x ) x x 2 + 4 2

Isto é,

1 = A x 2 + 4 2 + B x + C x 3 + 4 x + ( D x + E ) ( x )

Assim,

1 = A x 4 + 8 x 2 + 16 + ( B x 4 + 4 B x 2 + C x 3 + 4 C x ) + ( D x 2 + E x )

Portanto,

x 4 A + B + x 3 C + x 2 8 A + 4 B + D + x 4 C + E + 16 A = 1

Montando um sistema, temos:

A + B = 0 C = 0 8 A + 4 B + D = 0 4 C + E = 0 16 A = 1

Resolvendo,

A = 1 / 16 , B = - 1 / 16 , C = 0 , D = - 1 / 4 e E = 0

Voltando para expressão que queremos integrar:

A x + B x + C x 2 + 4 + D x + E x 2 + 4 2

Logo,

1 / 16 x + - 1 16 x x 2 + 4 + - 1 4 x x 2 + 4 2

Passo 3

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Agora vamos integrar!

I = ∫ 1 16 x + - 1 16 x x 2 + 4 + - 1 4 x x 2 + 4 2 d x

Logo,

I = 1 16 ⋅ ∫ 1 x d x - 1 16 ⋅ ∫ x x 2 + 4 d x - 1 4 ⋅ ∫ x x 2 + 4 2 d x

Agora vamos integrar cada termo separadamente! O primeiro fica assim:

I 1 = ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C 1

Já o segundo:

I 2 = ∫ x x 2 + 4 d x

Fazendo u = x 2 + 4 → d u = 2 x d x . Logo,

I 2 = ∫ 1 u d u 2 = 1 2 ⋅ ln ⁡ u + C 2

Voltando para variável x :

I 2 = 1 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + 4 + C 2

Por último, temos:

I 3 = ∫ x x 2 + 4 2 d x

Fazendo u = x 2 + 4 → d u = 2 x d x . Logo,

I 3 = ∫ 1 u 2 d u 2 = 1 2 ⋅ ∫ d u u 2

Então,

I 3 = 1 2 ⋅ - 1 u + C 3 → I 3 = - 1 2 x 2 + 4 + C 3

Agora vamos juntar tudo!

I = 1 16 ⋅ ln ⁡ x + C 1 - 1 16 ⋅ 1 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + 4 + C 2 - 1 4 ⋅ - 1 2 x 2 + 4 + C 3

Portanto,

I = 1 16 ln ⁡ x - 1 32 ln ⁡ x 2 + 4 + 1 8 x 2 + 4 + C

Resposta

1 16 ln ⁡ x - 1 32 ln ⁡ x 2 + 4 + 1 8 x 2 + 4 + C

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