Enunciado

Calcule a integral.

int (x^2 + x + 1)/((x^2 + 1)^2) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral. Para isso, vamos recorrer às frações parciais. Como o grau do denominador é maior que o grau do numerador, podemos fazer a decomposição diretamente:

(x^2 + x + 1)/((x^2 + 1)^2) = (A x + B)/(x^2 + 1) + (C x + D)/((x^2 + 1)^2)

Assim,

(x^2 + x + 1)/((x^2 + 1)^2) = ((A x + B) (x^2 + 1) + C x + D)/((x^2 + 1)^2)

Portanto,

A x^3 + B x^2 + (A + C) x + B + D = x^2 + x + 1

Logo, temos que A = 0 , de modo que A + C = 1 => C = 1 . Além disso, B = 1 , o que implica D = 0 pois B + D = 1 . Assim,

(x^2 + x + 1)/((x^2 + 1)^2) = (1)/(x^2 + 1) + (x)/((x^2 + 1)^2)

Passo 2

Desta forma, a integral será

int (x^2 + x + 1)/((x^2 + 1)^2) d x = int (1)/(1 + x^2) d x + int (x)/((x^2 + 1)^2) d x

Vemos que a primeira integral é elementar e igual ao a r c t g x . Já para a segunda integral, devemos fazer u = x^2 + 1 , de modo que d u = 2 x d x . Assim,

int (x)/((x^2 + 1)^2) d x = (1)/(2) int (1)/(u^2) d u = - (1)/(2 u) = - (1)/(2 ( x^2 + 1 ))

Passo 3

Desta forma,

int (x^2 + x + 1)/((x^2 + 1)^2) d x = a r c t g x - (1)/(2 (x^2 + 1)) + C

Resposta

a r c t g x - (1)/(2 (x^2 + 1)) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Integrações variadasCalcule as integrais dos Exercícios 69- 116. As integrais estão listadas de maneira aleatória.
Integrações variadasCalcule as integrais dos Exercícios 69- 116. As integrais estão listadas de maneira aleatória.
No Exercício ∫ 2 x 3-2 x2 + 1 x 2 - x d x , realize uma divisão longa no integrando, escreva a fração própria como soma de frações parciais e então calcule a integral.
No Exercício ∫ x4 x 2 - 1 d x , realize uma divisão longa no integrando, escreva a fração própria como soma de frações parciais e então calcule a integral.
No Exercício ∫ 2 ϴ 3 + 5 ϴ 2 + 8 ϴ + 4 ϴ 2 + 2 ϴ + 2 2d ϴ ϴ ϴ ϴ ϴ ϴ ϴ, expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule as integrais.