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Um modelo para a concentração no instate t de uma droga injetada na corrente sanguínea é

C t = K e - a t - e - b t

Onde K ,   a ,   b são constantes positivas e b > a . Esboce o gráfico da função concentração. O que o gráfico nos diz sobre como a concentração varia conforme o tempo passa?

Passo 1

Para esboçar o gráfico vejamos algumas informações:

Perceba que o domínio da função são todos os reais positivos( o tempo é sempre positivo ) e que o gráfico intercepta o eixo x       e o y   quando x = 0 .

Além disso, calculando a primeira derivada obtemos

f ' x = -   K a e - a t - b e - b t

O que nos fornece que t = ln ⁡ b a b - a e t = 0   são nossos pontos críticos. E, f é crescente em 0 ,   ln ⁡ b a b - a   e decrescente em ln ⁡ b a b - a ,   ∞ , o que torna o nosso primeiro ponto crítico um máximo local.

Já a segunda derivada

f ' ' x =   - K a 2 e - a t - b 2 e - b t ≤ 0   .

Por fim,

lim x → ∞ ⁡ f x = 0

Passo 2

Vamos esboçar o gráfico da função.

Observando o gráfico, temos que a concentração tem um ápice, ou seja, um ponto de máximo, e em seguida começa a diminuir a medida que o tempo passa, chegando a tender a zero.

Resposta

A medida que o tempo passa, a concentração tende a zero

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