Enunciado

Um modelo para a concentração no instante t de uma droga injetada na corrente sanguínea é

C t = K e - a t - e - b t

Onde K ,   a ,   b são constantes positivas e b > a . Esboce o gráfico da função concentração. O que o gráfico nos diz sobre como a concentração varia conforme o tempo passa?

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que esbocemos o gráfico da função concentração C no instante t de uma droga injetada na corrente sanguínea.

Para isso, o enunciado nos dá a seguinte express��o:

C t = K e - a t - e - b t

Onde K ,   a ,   b são constantes positivas e b > a .

Para podermos esboçar o gráfico, temos que ter alguma ideia sobre domínio, interceptações nos eixos e pontos de máximo e mínimo.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Perceba que o domínio da função são todos os reais positivos (o tempo é sempre positivo) e que o gráfico intercepta o eixo x e o y   quando x = 0 .

Além disso, calculando a primeira derivada obtemos

f ' x = -   K a e - a t - b e - b t

O que nos fornece que t = ln ⁡ b a b - a e t = 0   são nossos pontos críticos.

E, f é crescente em 0 ,   ln ⁡ b a b - a   e decrescente em ln ⁡ b a b - a ,   ∞ , o que torna o nosso primeiro ponto crítico um máximo local.

Passo 3

Já a segunda derivada

f ' ' x =   - K a 2 e - a t - b 2 e - b t ≤ 0   .

O que nos remete a uma concavidade voltada para baixo.

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico da função.

Observando o gráfico, temos que a concentração tem um ápice, ou seja, um ponto de máximo, e em seguida começa a diminuir à medida que o tempo passa, chegando a tender a zero.

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

À medida que o tempo passa, a concentração tende a zero.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se y = 2 x 2 - 3 , (a) ache d y e Δ y para x = 2 e Δ x = 0,5 . (b) Trace um esboço do gráfico e indique os segmentos de reta cujo comprimento são d y e Δ y .
Para certa mercadoria de que x unidades são demandadas semanalmente quando p é o preço de cada unidade, 10 6 p x = 10 9 - 2 ⋅ 10 6 x + 18 ⋅ 10 3 x 2 - 6 x 3 . O custo médio de produção de cada unidade
Nos exercícios de 13 a 32, faça um esboço do gráfico da função f dada, determinando primeiro o seguinte: os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico; os intervalos nos quais f é cresc
Suponha que f e g sejam funções que satisfaçam as hipóteses do teorema do valor médio em [ a ,b ] . Além disso, suponha que f ' x = g ' ( x ) para todo x no intervalo aberto ( a ,b ) . Prova que f x -
Verifique se as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas para a função dada no intervalo indicado. Então, ache um valor adequado de c que satisfaça as conclusões do teorema do valor médio