Enunciado

Verifique se as três condições da hipótese do teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Então, ache um valor adequado de c que satisfaça a conclusão do teorema de Rolle. Faça um esboço do gráfico de f no intervalo e use-o para dar a interpretação geométrica desse teorema.

f x = x 3 - x 2 - 4 x + 4 ;   - 2,1

Passo 1

A primeira hipótese que temos que confirmar é de que a função deve ser zero no limite do intervalo, ou seja: f ( - 2 ) = f ( 1 ) = 0 . Vamos conferir:

f x = x 3 - x 2 - 4 x + 4

f - 2 = ( - 2 ) 3 - - 2 2 - 4 ( - 2 ) + 4

f - 2 = - 8 - 4 + 8 + 4 = 0

Agora para f ( 1 ) :

f x = x 3 - x 2 - 4 x + 4

f 1 = ( 1 ) 3 - 1 2 - 4 ( 1 ) + 4

f 1 = 1 - 1 - 4 + 4 = 0

Logo, a primeira hipótese está satisfeita.

Passo 2

Na segunda e terceira hipótese nem vamos perder tempo. Deixa eu te dar uma dica: toda função polinomial é contínua e derivável em todo o seu domínio. Logo as duas outras hipóteses também estão confirmadas. Agora então vamos atrás de um ponto dentro do intervalo [-2, 1] que tenha derivada igual a zero:

f x = x 3 - x 2 - 4 x + 4

f ' x = 3 x 2 - 2 x - 4

3 x 2 - 2 x - 4 = 0

x = 2 ± - 2 2 - 4 × 3 × ( - 4 ) 2 × 3

x = 2 ± 4 + 48 6

x = 2 ± 52 6

x 1 = - 0,87 ; x 2 = 1,53

Como estamos procurando apenas dentro do intervalo [-2, 1], então o ponto que queremos é o x 1 = - 0,87 , que possui derivada 0 e está dentro do intervalo dado.

Passo 3

Vamos terminar de escrever o ponto né:

f - 0,87 = ( - 0,87 ) 3 - - 0,87 2 - 4 ( - 0,87 ) + 4

f - 0,87 = - 0,66 - 0,76 + 3,48 + 4

f - 0,87 = 6,06

Assim fica mais fácil fazer um eboço da função no intervalo:

Resposta

( - 0,87 ; 6,06 )

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