Diferencie a função dada

F(x) = x^(x^(e^x)) ; x > 0

Passo 1

Vamos relembrar algumas Propriedades de Derivadas

d d x   f   o   g a x = f ' g a x .   g ' a x .   a   ;   Sendo “a” uma constante.

d d x   x n = n   x n - 1  

d d x   a f ( x ) = l n a   .   a f ( x ) .   d d x f ( x )  

d d x   f ( x )   .   g ( x )   = f ' g + g ' f   [ R e g r a   d a   C a d e i a ]

Propriedade do Expoente

a b = e b ln ⁡ a

Passo 2

Toda vez que tivermos uma função com expoente x, precisamos transformar a base no numero de Euler (e). Então temos:

x x e x = e x e x ln ⁡ x

d d x x x e x = d d x e x e x ln ⁡ x

Vamos Fazer uma substituição agora para ficar mais fácil, e depois Usar Regra da Cadeia

U = x e x ln ⁡ x

Agora temos e u e Sabendo que :

d d x e x = e x . x '

Podemos agora continuar nossa derivação :

d d x e x e x ln ⁡ x = e x e x ln ⁡ x   .   d d x   x e x ln ⁡ x    

= x x e x   .     d d x   x e x ln ⁡ x

Passo 3

Usando regra da cadeia novamente

d d x   x e x ln ⁡ x   =   1 x x e x + l n x d d x x e x

Repetindo a propriedade do expoente

x e x = e e x ln ⁡ x

Então d d x x e x =   d d x   e e x ln ⁡ x

= e e x ln ⁡ x   .   l n x   .   e x + e x x

= x e x .   e x ( ln ⁡ x + 1 x )  

Logo

d d x x x e x =   x x e x   .     1 x x e x + l n x   ( x e x .   e x ( ln ⁡ x + 1 x ) )  

Unindo Os expoentes de mesma base.

Resposta

d d x x x e x =   x x e x   .     x e x - 1 + l n x   ( x e x .   e x ( ln ⁡ x + 1 x ) )  

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