Enunciado

Modifique o problema no Exemplo 2 desta seção substituindo o termo não homogêneo g(t) por

f ( t ) = u 5 ( t ) - ( t - 5 ) - u 5 + k ( t ) ( t - 5 - k ) k

  1. Esboce o gráfico de f(t) e descreva como ele depende de k. Para que valores de k a função f(t) é idêntica a g(t) no exemplo?
  2. Resolva o problema de valor inicial
  3. y ' ' + 4 y = f ( t ) ,   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 0

  4. A solução no item (b) depende de k, mas, para t suficientemente grande, a solução sempre é uma oscilação harmônica simples em torno de y = 1/4. Tente decidir como a amplitude dessa oscilação depende, finalmente, de k. Depois confirme sua conclusão fazendo o gráfico da solução para alguns valores diferentes de k.

Passo 1

Na letra a:

O valor de k determina o comprimento horizontal da rampa. f(t) é idêntico a g(t) se k = 5.

Passo 2

y ' ' + 4 y = f ( t ) ,   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 0 .

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' ' + 4 y } = ℒ { f ( t ) } = ℒ { 1 k [ u 5 ( t ) ( t - 5 ) - u 5 + k ( t ) ( t - 5 - k ) ] }

ℒ { y ' ' } + ℒ { 4 y } = ℒ { 1 k u 5 ( t ) ( t - 5 ) } - ℒ { u 5 + k ( t ) ( t - 5 - k ) }

[ s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) ] + 4 [ Y ( s ) ] = 1 k ∫ 0 ∞ e - s t [ u 5 ( t ) ( t - 5 ) ] d t   -   1 k ∫ 0 ∞ e - s t [ u 5 + k ( t )   ( t - 5 - k ) ] d t

Passo 3

Aplique as condições iniciais, y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 ,

s ² Y ( s ) + 4 Y ( s ) = 1 k ∫ 5 ∞ ( t - 5 ) e - s t d t   -   1 k ∫ 5 + k ∞ ( t - 5 - k ) e - s t d t

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s ² + 4 ) Y ( s ) = 1 k ( e - 5 s s ² ) - 1 k [ e - ( 5 + k ) s s 2 ]

Y ( s ) = 1 k ( 1 4 s ² - 1 8 2 s ² + 4 ) e - 5 s - 1 k ( 1 4 s ² - 1 8 2 s ² + 4 ) e - ( 5 + k ) s

Passo 4

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = ℒ - 1 { 1 k ( 1 4 s ² - 1 8 2 s ² + 4 ) e - 5 s - 1 k ( 1 4 s ² - 1 8 2 s ² + 4 ) e - ( 5 + k ) s }

Chegando em:

y ( t ) = 1 k ( t - 5 ) - 1 8 s e n [ 2 ( t - 5 ) ] } u 5 ( t )   -   1 k { 1 4 ( t - 5 - k ) - 1 8 s e n [ 2 ( t - 5 - k ) ] } u 5 + k ( t )

Passo 5

Abaixo estão vários gráficos de y(t) versus t para vários valores de k:

Agora plote os valores de A versus os valores de k para determinar a dependência funcional.

Resposta

  1. O valor de k determina o comprimento horizontal da rampa. f(t) é idêntico a g(t) se k = 5.
  2. y ( t ) = 1 k ( t - 5 ) - 1 8 s e n [ 2 ( t - 5 ) ] } u 5 ( t )   -   1 k { 1 4 ( t - 5 - k ) - 1 8 s e n [ 2 ( t - 5 - k ) ] } u 5 + k ( t )
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