Enunciado

Nos problemas 5 e 6, suponha que uma função tenha a propriedade y 0 = 2 e y ' 0 = 3 . Encontre a transformada de Laplace de y ( t ) , supondo que a função y ( t ) satisfaça a igualdade indicada

y ' ' + y = 1

Passo 1

Salveeee, belezinha?

Queremos calcular a transformada de Laplace de y ( t ) a partir da expressão:

y ' ' + y = 1

Usando y 0 = 2 e y ' 0 = 3

Para isso, temos que lembrar que:

L f ' t = s . F s - f ( 0 )

L f ' ' t = s 2 . F s - s . f 0 - f ' ( 0 )

Então vamos lá!

Passo 2

Temos

y ' ' + y = 1

Fazendo a transformada de Laplace:

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 + Y s = 1 s

Lembrando que y 0 = 2 e y ' 0 = 3 :

s 2 . Y s - 2 s - 3 + Y s = 1 s

Y s . s 2 + 1 - 2 s - 3 = 1 s

Isolando Y ( s ) :

Y s . s 2 + 1 = 1 s + 2 s + 3

Y s = 1 s . s 2 + 1 + 2 s + 3 s 2 + 1

E é isssoooo!!

Resposta

Y s = 2 s - 1 s 2 + 1

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Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.14. y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0 ; y 0 = 1 ; y ' 0 = 1
Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.15. y ' ' - 2 y ' + 4 y = 0 ; y 0 = 2 ,y ' 0 = 0
Use o resultado d d t e t = e t e ( 1 ) desta seção para calcular L e t
Nos problemas 3 e 4, suponha que uma função y ( t ) tenha a propriedade y 0 = 1 e y ' 0 = - 1 . Encontre a transformada de Laplace da expressão dada y ' ' + 3 y '