Enunciado

Uma mola tem massa de 1 k g presa a ela e sua constante da mola é k = 100 . A mola é solta em um ponto 0,1 m acima de sua posição de equilíbrio. Faça os gráficos da função posição para os seguintes valores da constante de amortecimento c : 10 ,   15 ,   20 ,   25 ,   30 . Que tipo de amortecimento acontece em cada caso?

Passo 1

Olá, tudo bem? A equação diferencial que descreve o movimento de uma massa presa a uma mola é dada pela equação 3 do livro texto:

d 2 x d t 2 + c d x d t + k x = 0

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea e de coeficientes constantes. A equação característica associada é:

λ 2 + c λ + k = 0

E a solução é dada pela fórmula de Bháskara:

λ = - c ± c 2 - 4 k 2

Aqui podemos ter três tipos de movimento, dependendo do sinal do delta Δ = c 2 - 4 k . Vamos analisar 5 casos diferentes.

Passo 2

Primeiro caso, com c = 10 . Substituindo na solução para λ temos:

λ = - c ± c 2 - 4 k 2 = - 10 ± 100 - 400 2 = - 10 ± - 300 2 = - 5 ± 5 3 i

Aqui temos duas raízes complexas do tipo λ = α ± β i a solução é:

x t = e α t c 1 cos ⁡ β t + c 2 s e n β t

Beleza? Aqui temos α = - 5 e β = 5 3 . Vamos substituir os valores encontrados? A solução x ( t ) é:

x t = e - 5 t c 1 cos ⁡ 5 3 t + c 2 s e n 5 3 t

E as condições de contorno? Temos duas. A primeira nos diz que x 0 = - 0,1 , então temos:

x t = e 0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n 0 = - 0,1 ∴ c 1 = - 0,1

A segunda condição é sobre a derivada de x ( t ) , então derivando a solução temos:

x ' t = e - 5 t - 5 3 c 1 sen ⁡ 5 3 t + 5 3 c 2 c o s 5 3 t - 5 e - 5 t c 1 cos ⁡ 5 3 t + c 2 s e n 5 3 t

Aplicando em t = 0 temos:

x ' 0 = 5 3 c 2 - 5 c 1 = 0 ∴ c 2 = - 1 10 3

Então a solução vai ser:

x t = e - 5 t - 0,1 cos ⁡ 5 3 t - 1 10 3 s e n 5 3 t

E o movimento é o subamortecido

Passo 3

Para c = 15 temos:

λ = - c ± c 2 - 4 k 2 = - 15 ± 225 - 400 2 = - 15 ± - 175 2 = - 15 2 ± 5 7 i 2

Aqui temos duas raízes complexas do tipo λ = α ± β i a solução é:

x t = e α t c 1 cos ⁡ β t + c 2 s e n β t

Beleza? Aqui temos α = - 15 2 e β = 5 7 2 . Vamos substituir os valores encontrados? A solução x ( t ) é:

x t = e - 15 2 t c 1 cos ⁡ 5 7 2 t + c 2 s e n 5 7 2 t

E as condições de contorno? Temos duas. A primeira nos diz que x 0 = - 0,1 , então temos:

x 0 = e 0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n 0 = - 0,1 ∴ c 1 = - 0,1

A segunda condição é sobre a derivada de x ( t ) , então derivando a solução temos:

x ' t = e - 15 2 t - 5 7 2 c 1 sen ⁡ 5 7 2 t + 5 7 2 c 2 c o s 5 7 2 t - 15 2 e - 15 2 t c 1 cos ⁡ 5 7 2 t + c 2 s e n 5 7 2 t

Aplicando em t = 0 temos:

x ' 0 = 5 7 2 c 2 - 15 2 c 1 = 0 ∴ c 2 = - 3 10 7

Então a solução vai ser:

x t = e - 15 2 t - 0,1 cos ⁡ 5 7 2 t - 3 10 7 s e n 5 7 2 t

E o movimento continua sendo subamortecido, pois temos raízes complexas.

Passo 4

Para c = 20 temos:

λ = - c ± c 2 - 4 k 2 = - 20 ± 400 - 400 2 = - 20 ± 0 2 ∴ λ 1 = λ 2 = - 10

Aqui temos duas raízes reais e iguais e a solução vai ser do tipo:

x t = c 1 e - 10 t + c 2 t e - 10 t

E as condições de contorno? Temos duas. A primeira nos diz que x 0 = - 0,1 , então temos:

x 0 = c 1 = - 0,1

A segunda condição é sobre a derivada de x ( t ) , então derivando a solução temos:

x ' t = - 10 c 1 e - 10 t + c 2 e - 10 t - 10 t c 2 e - 10 t

Aplicando em t = 0 temos:

x ' 0 = - 10 c 1 + c 2 = 0 ∴ c 2 = 10 c 1

E sabendo que c 1 = - 0,1   temos:

c 2 = - 0,1.10 = - 1

Então a solução vai ser:

x t = - 0,1 e - 10 t - t e - 10 t

Como temos duas raízes reais iguais, o movimento é classificado como amortecimento crítico.

Passo 5

Para c = 25 temos:

λ = - c ± c 2 - 4 k 2 = - 25 ± 625 - 400 2 = - 25 ± 225 2 ∴ λ 1 = - 5 ,   λ 2 = - 20

Aqui temos duas raízes reais e diferentes e a solução vai ser do tipo:

x t = c 1 e - 5 t + c 2 e - 20 t

E as condições de contorno? Temos duas. A primeira nos diz que x 0 = - 0,1 , então temos:

x 0 = c 1 + c 2 = - 0,1

A segunda condição é sobre a derivada de x ( t ) , então derivando a solução temos:

x ' t = - 5 c 1 e - 5 t - 20 c 2 e - 20 t

Aplicando em t = 0 temos:

x ' 0 = - 5 c 1 - 20 c 2 = 0 ∴ c 1 = - 4 c 2

E sabendo que c 2 = - 0,1 - c 1   temos:

c 2 = 1 30

E c 1 :

c 1 = - 2 15

Então a solução vai ser:

x t = - 2 15 e - 5 t + 1 30 e - 20 t

Aqui temos um movimento superamortecido

Vamos para o último valor de c ?

Passo 6

Para c = 30 temos:

λ = - c ± c 2 - 4 k 2 = - 30 ± 900 - 400 2 = - 30 ± 500 2

∴ λ 1 = - 15 + 5 5 ,     λ 2 = - 15 - 5 5

Aqui temos duas raízes reais e diferentes e a solução vai ser do tipo:

x t = c 1 e ( - 15 + 5 5 ) t + c 2 e ( - 15 - 5 5 ) t

E as condições de contorno? Temos duas. A primeira nos diz que x 0 = - 0,1 , então temos:

x 0 = c 1 + c 2 = - 0,1

A segunda condição é sobre a derivada de x ( t ) , então derivando a solução temos:

x ' t = ( - 15 + 5 5 ) c 1 e - 15 + 5 5 t + ( - 15 - 5 5 ) c 2 e ( - 15 - 5 5 ) t

Aplicando em t = 0 temos:

x ' 0 = ( - 15 + 5 5 ) c 1 + ( - 15 - 5 5 ) c 2 = 0

E resolvendo o sistema vamos ter::

c 2 = - 5 + 3 5 100

E c 1 :

c 1 = - 5 - 3 5 100

Então a solução vai ser:

x t = - 5 - 3 5 100 e ( - 15 + 5 5 ) t + - 5 + 3 5 100 e ( - 15 - 5 5 ) t

E também vai ser superamortecido.

O gráfico abaixo mostra todas as soluções juntas:

E os movimentos vão ser:

  • c = 10 : subamortecido.
  • c = 15 : subamortecido.
  • c = 20 : amortecimento crítico.
  • c = 25 : superamortecido.
  • c = 30 : superamortecido.
  • Resposta

  • c = 10 : subamortecido.
  • c = 15 : subamortecido.
  • c = 20 : amortecimento crítico.
  • c = 25 : superamortecido.
  • c = 30 : superamortecido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.11. y ' ' - y ' + 1 4 y = 3 + e x 2
Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.13. y ' ' + 4 y = 3 s e n2 x
Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.6. y ' ' - 8 y ' + 20 y = 100 x 2 - 26 x e x
Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.7. y ' ' + 3 y = - 48 x 2 e 3 x
Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.14. y ' ' + 4 y = x 2 - 3 s e n2 x