Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 21
Mostre que em um número infinito de pontos críticos e que em cada um. A seguir, mostre que tem um mínimo local (e absoluto) em cada ponto crítico.
Passo 1
Para começarmos a análise dos máximos e mínimos da função, vamos primeiramente encontrar as derivadas parciais da mesma, se liga:
Encontrando as derivadas de segunda ordem, teremos:
Para que e sejam nulos, o que tem que acontecer é que , não é mesmo? Sendo assim, então todos os pontos da forma são pontos críticos da função . Assim como discutido no enunciado, de fato a função apresenta infinitos pontos críticos!
Passo 2
Agora o que temos que fazer é testar esses pontos em , que é dado da seguinte forma:
Mas quem é ? Como já calculamos , então será:
Que é o resultado que esperávamos!
Passo 3
Se manipularmos um pouco nossa função, teremos:
Com , temos que , que é o resultado de um mínimo local (e absoluto, claro). E está aí nossa demonstração! 😊
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)