Enunciado

Mostre que f x ,   y = x 2 + 4 y 2 - 4 x y + 2 em um número infinito de pontos críticos e que D = 0 em cada um. A seguir, mostre que f tem um mínimo local (e absoluto) em cada ponto crítico.

Passo 1

Para começarmos a análise dos máximos e mínimos da função, vamos primeiramente encontrar as derivadas parciais da mesma, se liga:

f x = 2 x - 4 y

f y = 8 y - 4 x

Encontrando as derivadas de segunda ordem, teremos:

f x x = 2

f y y = 8

Para que f x e f y sejam nulos, o que tem que acontecer é que y = 1 2 x , não é mesmo? Sendo assim, então todos os pontos da forma x o , 1 2 x o são pontos críticos da função f . Assim como discutido no enunciado, de fato a função apresenta infinitos pontos críticos!

Passo 2

Agora o que temos que fazer é testar esses pontos em D , que é dado da seguinte forma:

D x ,   y = f x x . f y y - f x y x ,   y 2

Mas quem é f x y ? Como já calculamos f x , então f x y será:

f x y = - 4

D x ,   y = 2.8 - - 4 2

∴ D x ,   y = 0

Que é o resultado que esperávamos!

Passo 3

Se manipularmos um pouco nossa função, teremos:

f x ,   y = x 2 + 4 y 2 - 4 x y + 2

f x ,   y = x - 2 y 2 + 2

Com y = 1 2 x , temos que f x ,   y = 2 , que é o resultado de um mínimo local (e absoluto, claro). E está aí nossa demonstração! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f x , y definida e de classe C 2 no aberto A de R 2 . Suponha que, para todo x , y ∈ A , ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + ∂ 2 f ∂ y 2 x , y + 2 ∂ f ∂ x x , y + 3 ∂ f ∂ y ( x , y )0 Prove que f não admite pont
Seja f x , y = a x 2 + b y 2 + c x y + d x + e y + l , onde a ,b ,c ,d ,e e l são constantes. Prove que se ( x 0 , y 0 ) for extremante local de f , então será extremante global.
Duas partículas P 1 e P 2 deslocam-se no espaço com velocidades constantes v → 1 = ( 1,1 , 0 ) e v → 2 = ( 0,1 , 1 ) , respectivamente. No instante t = 0 a P 1 encontra-se na posição 1,1 , 3 . Sabe-se
Considere a função f x , y = 1 - x 2 - y 2 , x ≥ 0 e y ≥ 0 . Determine o plano tangente ao gráfico de f que forma com os planos coordenados tetraedro de volume mínimo.
Considere o sistema de partículas P 1 , P 2 , ..., P n , localizados nos pontos ( x 1 ,y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ..., ( x n , y n ) e de massas m 1 , m 2 , ..., m n . Seja N = ( x , y ) . Determine N pa