Enunciado

Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

V E = 1 3 ∬ S F   ∙ d S , onde F x , y , z = x i + y j + z k é um vetor constante

Passo 1

Temos pelo Teorema do Divergente:

∬ S F ∙ d S = ∭ E div ⁡ F d V

Com S sendo uma superfície fechada e E é a região dentro da superfície.

Vamos calcular div ⁡ F :

div ⁡ F = ∂ x ∂ x + ∂ y ∂ y + ∂ z ∂ z = ∂ x ∂ x + ∂ y ∂ y + ∂ z ∂ z = 1 + 1 + 1 = 3

Substituindo agora temos:

∬ S F ∙ d S = ∭ E div ⁡ F d V = ∭ E 3   d V

Temos então que:

1 3 ∬ S F   ∙ d S = 1 3 ∭ E 3   d V → 1 3 ∬ S F   ∙ d S = ∭ E   d V → 1 3 ∬ S F   ∙ d S = V E

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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