Enunciado

57- Mostrando que L não é um limite Podemos provar que lim x → x 0 ⁡ f ( x ) ≠ L ao fornecer um ϵ > 0 de modo que não seja possível encontrar δ > 0 que satisfaça a condição.

Para todo x , 0 < x - x 0 < δ → f x - L < ϵ .

Conseguimos isso para o nosso candidato ϵ ao mostrar que para cada δ > 0 existe um valor de x tal que

0 < x - x 0 < δ   e   | f x - L | ≥ ϵ

  1. Seja ϵ = 1 / 2 . Mostre que nenhum δ > 0 satisfaz a seguinte condição :
  2. Para todo x , 0 < x - 1 < δ → f x - 1 < 1 2 . Isto é, para cada δ > 0 ,mostre que há um valor de x tal que

    0 < x - 1 < δ   e   f x - 1 ≥ 1 2

    Isso mostrará que lim x → 1 ⁡ f ( x ) ≠ 2

  3. Mostre que lim x → 1 ⁡ f ( x ) ≠ 1
  4. Mostre que lim x → 1 ⁡ f ( x ) ≠ 1.5

Passo 1

Na letra a essa proposição nos satisfará pois pegaremos um quadrado de amostra de tamanho 1 2 em x 0 = 1 para a reta y = x , pois essa função não tem limite de x 0 para esse valor.

E como foi estipulado ϵ = 1 2 naturalmente escolheríamos valores de x iguais a 1 - ϵ e 1 + ϵ . Só que na função y = x limitada de ( - ∞ , 1 ) não existe valor possível para a função, não havendo consequentemente um δ positivo. Logo:

x - 1 < δ

Nos daria:

- δ < x - 1 < 0

1 - δ < x < 0

Assim como:

- ϵ < f x - 1 < 0

1 - 1 2 < f x < 1

Sendo impossível f ( x ) ser igual 2 não importando qual seja o valor de δ

x - 2 ≥ 0.5

Qualquer valor da reta y = x com o domínio ( - ∞ , 1 ) dará um valor maior que 1 2

Passo 2

Na letra b devemos provar que vindo da direita a função não tenha limite igual a 1, pois a esquerda ela já possui.

Logo f x = x + 1

Só que naturalmente essa função nos faz observar valores de x iguais a 1 - ϵ e 1 + ϵ porém como nosso domínio é restringido em ( 1 , ∞ ) então não teremos valor negativo de δ consequentemente. Fazendo com que:

0 < x - 1 < δ

O que é:

1 < x < 1 + δ

Só que nossa função é x + 1 vemos:

2 < x + 1 < 2 + δ

Então nunca teremos um valor de limite igual a 1 para essa função.

Em outras palavras vimos que f x > 2 .

x + 1 - 1 ≥ 0.5

Como o menor valor de x será 1 teremos:

1 ≥ 0.5

Passo 3

Como a primeira equação nos dá

f x < 1

E a segunda :

f x > 2

Logo nunca teremos um limite que vindo de nenhum dos lados que dê 1.5.

Pegando como exemplo a função y = x + 1

O que é:

1 < x < 1 + δ

x + 1 - 1.5 = | x - 0.5 |

Como o menor valor de x nessa função é 1 logo:

1 - 0.5 ≥ 0.5

O que prova

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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