Enunciado

Mostrar que o limite do módulo de uma função vetorial é igual ao modulo do seu limite, se este último existir.

Passo 1

Galera, seja f → t = f 1 t i → + f 2 t j → + f 3 ( t ) k → uma função vetorial tal que o lim t → a ⁡ f ( t ) exista e seja igual a:

lim t → a ⁡ f ( t ) = a 1 i → + a 2 j → + a 3 k →

Assim, existem os limites lim t → a ⁡ f 1 ( t ) = a 1 ,   lim t → a ⁡ f 2 ( t ) = a 2   e   lim t → a ⁡ f 3 ( t ) = a 3 . Queremos demonstrar que lim t → a ⁡ f → t = lim t → a ⁡ f → t . O módulo da função vetorial é igual a:

f → t = f 1 t 2 + f 2 t 2 + f 3 t 2

Aplicando a propriedade de limites, temos:

lim t → a ⁡ f t = lim t → a ⁡ f 1 t 2 + f 2 t 2 + f 3 t 2

lim t → a ⁡ f t = lim t → a ⁡ f 1 t 2 + l i m t → a   f 2 t 2 + l i m t → a   f 3 t 2

lim t → a ⁡ f t = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2

O que nós temos do lado direito da equação é o módulo da função vetorial!

lim t → a ⁡ f t = a 1 i → + a 2 j → + a 3 k →

lim t → a ⁡ f t = lim t → a ⁡ f → t

Pronto, demorou um pouco mas chegamos no final! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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