Enunciado

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Mostre que, se   A for uma matriz diagonal com elementos diagonais a 1 ,   a 2 , . . . ,   a n , então e x p ( A t ) também será uma matriz diagonal com elementos diagonais e x p ( a 1 t ) ,   e x p ( a 2 t ) , . . . , e x p ( a n t ) .

Passo 1

Possuimos uma matriz A :

Como enunciando na fala nada perante os outros elemento, além da diagonal principal, e também nem o tamanho da matriz, podemos assumir como todos zero e uma matriz 2 × 2 .

A = a 1 0 0 a n

Temos que executar agora a exponencial de A t , para analisarmos se resultaram hein uma matriz com uma diagonal principal como enunciado deseja.

Passo 2

Temos que executar agora a exponencial de A t :

Temos que uma exponencial de uma matriz quadrada ( n × n ) é definida por:

exp ⁡ A = e A = I + A + A 2 2 ! + A 3 3 ! … …

Em que I é a matriz identidade.

E executar este tipo de formula para uma matriz diagonal 2 × 2 é dado por:

exp ⁡ x 1 0 0 x 2 = e x 1 0 0 e x 2

Vamos a aplicação:

A t = a 1 t 0 0 a n t

exp ⁡ ( A t ) =   e a 1 t 0 0 e a n t

Resposta

exp ⁡ ( A t ) =   e a 1 t 0 0 e a n t

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