Mostre que, seA for uma matriz diagonal com elementos diagonais a1 ,a2 , . . . ,an , então exp(A t) também será uma matriz diagonal com elementos diagonais exp(a1t) ,exp(a2t) , . . . , exp(ant) .

Passo 1

Possuimos uma matriz A :

Como enunciando na fala nada perante os outros elemento, além da diagonal principal, e também nem o tamanho da matriz, podemos assumir como todos zero e uma matriz 2 × 2 .

A = a 1 0 0 a n

Temos que executar agora a exponencial de A t , para analisarmos se resultaram hein uma matriz com uma diagonal principal como enunciado deseja.

Passo 2

Temos que executar agora a exponencial de A t :

Temos que uma exponencial de uma matriz quadrada ( n × n ) é definida por:

exp ⁡ A = e A = I + A + A 2 2 ! + A 3 3 ! … …

Em que I é a matriz identidade.

E executar este tipo de formula para uma matriz diagonal 2 × 2 é dado por:

exp ⁡ x 1 0 0 x 2 = e x 1 0 0 e x 2

Vamos a aplicação:

A t = a 1 t 0 0 a n t

exp ⁡ ( A t ) =   e a 1 t 0 0 e a n t

Resposta

exp ⁡ ( A t ) =   e a 1 t 0 0 e a n t

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