Enunciado

Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.

∫ 0 ∞ x x 3 + 1 d x

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😎

Nesse problema temos que usar o teorema da comparação para verificar se a integral

∫ 0 ∞ x x 3 + 1 d x

É convergente ou divergente...

Tem ideia decomo fazemos isso? 😬

Vamos lá, o Teorema da Comparação diz que:

  • Supondo que f e g são contínuas com f x ≥ g x ≥ 0 para x ≥ a :
  • se ∫ a ∞ f x d x é convergente, então ∫ a ∞ g x d x é convergente;
  • se ∫ a ∞ g x d x é divergente, então ∫ a ∞ f x d x é divergente.

Veja só! 👀

Passo 2

Temos que para x > 0 :

x x 3 + 1 < x x 3 = 1 x 2

Pronto, temos que:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x

Temos que essa integral é convergente, pela equação 2 , que fala que:

∫ 1 ∞ 1 x p d x é convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1 .

Pronto, temos que 0 ≤ g x ≤ f x , assim ∫ 0 ∞ x x 3 + 1 d x é convergente.

Isso porque:

∫ 0 1 x x 3 + 1 d x

É uma constante, concorda? É apenas uma integral definida. Assim:

∫ 0 ∞ x x 3 + 1 d x = ∫ 0 1 x x 3 + 1 d x + ∫ 1 ∞ x x 3 + 1 d x

Continua sendo convergente!! Já que a primeira integral é uma constante e a segunda é provada pelo teorema da comparação!

Beleza?? Só isso! O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ 0 ∞ x x 3 + 1 d x é convergente

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