Enunciado

Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.

∫ 1 ∞ 2 + e - x x d x

Passo 1

Vamos lá, o Teorema da Comparação diz que:

Supondo que f e g são contínuas com f x ≥ g x ≥ 0 para x ≥ a :

se ∫ a ∞ f x d x é convergente, então ∫ a ∞ g x d x é convergente;

se ∫ a ∞ g x d x é divergente, então ∫ a ∞ f x d x é divergente.

Temos que para x ≥ 1 :

2 + e - x x > 2 x > 1 x

Pronto, temos que:

∫ 1 ∞ g x d x = ∫ 1 ∞ 1 x d x

Temos que essa integral é divergente, pela equação 2 , que fala que:

∫ 1 ∞ 1 x p d x é convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1 .

Pronto, temos que 0 ≤ g x ≤ f x , assim ∫ 1 ∞ 2 + e - x x d x é divergente.

Resposta

∫ 1 ∞ 2 + e - x x d x é divergente

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