Enunciado

  1. Mostre que f x = x 3 e g x = x 3 são inversas entre si.
  2. Faça o gráfico de f e g sobre um intervalo de x grande o suficiente para mostrar que os gráficos se interceptam em ( 1,1 ) e ( - 1 , - 1 ) . Assegure-se de que a imagem mostra a simetria exigida na reta y = x

Passo 1

Para resolvermos a letra a ) , basta verificarmos que as duas funções são inversas. E como faremos isto??? Bem simples! Duas funções f e g são inversas se e somente se a seguinte relação é satisfeita:

f ∘ g = g ∘ f = x

Basta fazermos as composições das funções! Já para resolvermos a letra b ) , precisaremos utilizar recursos tecnológicos para esboçar as nossas curvas. Esta letra é bem direta ao ponto. Basta plotarmos as duas funções f e g , mostrar os dois pontos de interseção entre elas e deixar claro a simetria em torno da reta y = x . Não há muito o que ser discutido na letra b ) .

Passo 2

Vamos começar por mostrar que as duas funções são inversas entre si. Desta forma, faremos a composição das duas funções. Temos então:

f ∘ g = f g x = f x 3 = x 3 3 = x

g ∘ f = g f x = g x 3 = x 3 3 = x

Como f ∘ g = g ∘ f = x , as funções são inversas entre si.

Passo 3

Vamos obter os dados agora da letra b ) . Assim temos o seguinte gráfico.

Se colocássemos um espelho em torno da reta y = x , conseguiríamos ver claramente a simetria das duas curvas. Em destaque estão os pontos A = ( 1,1 ) e B = ( - 1 , - 1 ) , pontos de interseção das duas curvas.

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Entre os retângulos de perímetro 2 p dado, qual o de área máxima?
Determine a para que as retas dadas sejam paralelas. y = a + 1 x + 1 e y = x
Determine a para que as retas dadas sejam paralelas. y = a x e y = 3 x - 1
Determine a para que as retas dadas sejam paralelas. x + a y = 0 e y = 3 x + 2
Divida um segmento de 10 cm de comprimento em duas partes, de modo que a soma dos quadrados dos comprimentos seja mínima.