Enunciado

  1. Mostre que h x = x 3 / 4 e g x = 4 x 1 / 3 são inversas entre si.
  2. Faça o gráfico de f e g sobre um intervalo de x grande o suficiente para mostrar que os gráficos se interceptam em ( 2 , 2 ) e ( - 2 , - 2 ) . Assegure-se de que a imagem mostra a simetria exigida na reta y = x

Passo 1

Para resolvermos a letra a ) , basta verificarmos que as duas funções são inversas. E como faremos isto??? Bem simples! Duas funções f e g são inversas se e somente se a seguinte relação é satisfeita:

f ∘ g = g ∘ f = x

Basta fazermos as composições das funções! Já para resolvermos a letra b ) , precisaremos utilizar recursos tecnológicos para esboçar as nossas curvas. Esta letra é bem direta ao ponto. Basta plotarmos as duas funções f e g , mostrar os dois pontos de interseção entre elas e deixar claro a simetria em torno da reta y = x . Não há muito o que ser discutido na letra b ) .

Passo 2

Vamos começar por mostrar que as duas funções são inversas entre si. Desta forma, faremos a composição das duas funções. Temos então:

f ∘ g = f g x = f 4 1 3 = 4 1 3 3 4 = 4 x 4 = x

g ∘ f = g f x = g x 3 4 = 4 x 3 4 1 / 3 = x

Como f ∘ g = g ∘ f = x , as funções são inversas entre si.

Passo 3

Vamos obter os dados agora da letra b ) . Assim temos o seguinte gráfico.

Se colocássemos um espelho em torno da reta y = x , conseguiríamos ver claramente a simetria das duas curvas. Em destaque estão os pontos A = ( 2 , 2 ) e B = ( - 2 , - 2 ) , pontos de interseção das duas curvas.

Resposta

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