Enunciado

(a) Mostre que, se l i m n → ∞   a 2 n = L e l i m n → ∞   a 2 n + 1 = L , então a n é convergente e l i m n → ∞   a n = L .

(b) Se a 1 = 1 e

a n + 1 = 1 + 1 1 + a n

encontre os oito primeiros membros da sequência a n . Então use a parte (a) para mostrar que l i m n → ∞   a n = 2 . Isso dá a expressão em frações contínuas

2 = 1 + 1 2 + 1 2 + …

Passo 1

(a) Galera, aqui estamos tratando da sequência a n e de suas duas subsequências a 2 n e a 2 n + 1 . Mas como assim subsequências?

Olha só, você concorda que 2 n representam números pares? E que 2 n + 1 representam números ímpares? Então, é como se a 2 n pegasse só os termos pares da sequência a n , e a 2 n + 1 pegasse só os termos ímpares dessa mesma sequência.

Ou seja, é como se a n pudesse ser dividida em duas sequências “menores”, duas subsequências, a 2 n e { a 2 n + 1 } , certo?

Então, se o limite dessas subsequências é o mesmo, podemos dizer que a sequência a n também converge pra esse limite:

l i m n → ∞   a n = L

Passo 2

(b) Vamos calcular os oito primeiros termos dessa sequência:

a n + 1 = 1 + 1 1 + a n

a 1 = 1

a 2 = 1 + 1 1 + a 1 = 1 + 1 1 + 1 = 1 + 1 2 = 3 2 = 1,5

a 3 = 1 + 1 1 + a 2 = 1 + 1 1 + 3 2 = 1 + 1 5 2 = 1 + 2 5 = 7 5 = 1,4

a 4 = 1,4166666667

a 5 = 1,4137931034

a 6 = 1,4142857143

a 7 = 1,41 42011834

a 8 = 1,4142156863

Passo 3

Galera, pra provar que o limite da sequência é 2 usando o raciocínio do item (a), vamos trocar n por 2 n na equação que define a sequência:

a 2 n + 1 = 1 + 1 1 + a 2 n

Agora vamos tomar o limite nos dois lados:

lim n → ∞ ⁡ a 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 1 + a 2 n

lim n → ∞ ⁡ a 2 n + 1 = 1 + 1 1 + l i m n → ∞   a 2 n

Se o limite existe, então podemos escrever lim n → ∞ ⁡ a 2 n + 1 = l i m n → ∞   a 2 n = L :

L = 1 + 1 1 + L

L + L 2 = 1 + L + 1

L 2 = 2

L = ± 2

Como a 1 = 1 , o limite só pode ser positivo, então:

l i m n → ∞   a n = lim n → ∞ ⁡ a 2 n + 1 = l i m n → ∞   a 2 n = 2

Beleza?

Resposta

(b) a 1 = 1

a 2 = 1 , 5

a 3 = 1 , 4

a 4 = 1,416666666 7

a 5 = 1,413793103 4

a 6 = 1,414285714 3

a 7 = 1,414201183 4

a 8 = 1,414215686 3

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