Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 80
Uma sequência é dada por , .
(a) Por indução, ou de outra maneira, mostre que é crescente e limitada superiormente por . Aplique o Teorema da Sequência Monótona para mostrar que existe.
(b) Calcule
Passo 1
(a) Beleza, galera? Primeiro vamos provar que a sequência é crescente, usando indução.
A afirmação que queremos provar é que , para todo . Então, primeiro, vamos verificar se vale pra , beleza?
Então a afirmação vale para . Agora, a gente supõe que é vale para :
Se a partir dessa suposição, a gente conseguir provar que vale para ou seja, que , então completamos a indução, beleza?
Usando a hipótese :
Ou seja,
Então acabamos de provar por indução que a sequência é crescente!
Passo 2
Show! Agora também usaremos indução pra provar que a sequência é limitada superiormente por . A afirmação que queremos provar é que , para todo , certo?
Como , a afirmação já vale pra , né?
Agora, vamos supor que vale pra :
Será que vale pra ?
Sim, vale! Então está provado.
Passo 3
Já provamos que a sequência é crescente e que é limitada superiormente por . Como ela está sempre crescendo, o primeiro termo é quem a limita inferiormente. Sendo assim, podemos dizer que ela é limitada.
O Teorema da Sequência Monótona nos diz que toda sequência monótona (crescente ou decrescente) e limitada é convergente, ou seja, tem um limite. Como já dito, nossa sequência satisfaz as condições do Teorema, pois é monótona (crescente) e limitada. Então, isso mostra que existe, beleza?
Passo 4
(b) Agora vamos ao cálculo desse limite da sequência. Pra isso, podemos tomar o limite no infinito dos dois lados da equação que mostra a relação de recorrência entre os termos da sequência:
Lembrando que podemos usar o seguinte fato para sequências convergentes:
Usando a propriedade de continuidade:
Pra ficar mais intuitivo de resolver essa equação, vamos chamar o limite de , beleza?
Como o primeiro termo da sequência é positivo e a sequência é crescente, o limite jamais poderia ser negativo, então eliminamos essa raiz da equação. Ficamos com:
Resposta
(b)
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