Enunciado

Uma sequência a n é dada por a 1 = 2 , a n + 1 = 2 + a n .

(a) Por indução, ou de outra maneira, mostre que a n é crescente e limitada superiormente por 3 . Aplique o Teorema da Sequência Monótona para mostrar que lim n → ∞ ⁡ a n existe.

(b) Calcule lim n → ∞ ⁡ a n   .

Passo 1

(a) Beleza, galera? Primeiro vamos provar que a sequência é crescente, usando indução.

A afirmação que queremos provar é que a n + 1 > a n , para todo n ≥ 1 . Então, primeiro, vamos verificar se vale pra n = 1 , beleza?

a 1 = 2 ≈ 1 , 414

a 2 = 2 + a 1 = 2 + 2 ≈ 1,848 > a 1

Então a afirmação vale para n = 1 . Agora, a gente supõe que é vale para n = k :

a k + 1 > a k

Se a partir dessa suposição, a gente conseguir provar que vale para n = k + 1 , ou seja, que a k + 1 + 1 > a k + 1 , então completamos a indução, beleza?

a k + 1 + 1 = 2 + a k + 1

Usando a hipótese   a k + 1 > a k :

a k + 1 + 1 = 2 + a k + 1 > 2 + a k = a k + 1

Ou seja,

a k + 1 + 1 > a k + 1

Então acabamos de provar por indução que a sequência é crescente!

Passo 2

Show! Agora também usaremos indução pra provar que a sequência é limitada superiormente por 3 . A afirmação que queremos provar é que a n < 3 , para todo n ≥ 1 , certo?

Como a 1 = 2 < 3 , a afirmação já vale pra n = 1 , né?

Agora, vamos supor que vale pra n = k :

a k < 3

Será que vale pra n = k + 1 ?

a k + 1 = 2 + a k < 2 + 3 = 5 < 3

Sim, vale! Então está provado.

Passo 3

Já provamos que a sequência é crescente e que é limitada superiormente por 3 . Como ela está sempre crescendo, o primeiro termo a 1 é quem a limita inferiormente. Sendo assim, podemos dizer que ela é limitada.

O Teorema da Sequência Monótona nos diz que toda sequência monótona (crescente ou decrescente) e limitada é convergente, ou seja, tem um limite. Como já dito, nossa sequência satisfaz as condições do Teorema, pois é monótona (crescente) e limitada. Então, isso mostra que lim n → ∞ ⁡ a n existe, beleza?

Passo 4

(b) Agora vamos ao cálculo desse limite da sequência. Pra isso, podemos tomar o limite no infinito dos dois lados da equação que mostra a relação de recorrência entre os termos da sequência:

a n + 1 = 2 + a n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = l i m n → ∞   2 + a n

Lembrando que podemos usar o seguinte fato para sequências convergentes:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = lim n → ∞ ⁡ a n

lim n → ∞ ⁡ a n = l i m n → ∞   2 + a n

Usando a propriedade de continuidade:

lim n → ∞ ⁡ a n = 2 + lim n → ∞ ⁡ a n

Pra ficar mais intuitivo de resolver essa equação, vamos chamar o limite de L , beleza?

L = 2 + L

L 2 = 2 + L

L 2 - L - 2 = 0

L = - 1       o u       L = 2

Como o primeiro termo da sequência é positivo e a sequência é crescente, o limite jamais poderia ser negativo, então eliminamos essa raiz da equação. Ficamos com:

lim n → ∞ ⁡ a n = 2

Resposta

(b) lim n → ∞ ⁡ a n = 2

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